Câu 3. Với $a_{i},b_{i}(i=1,2,...n)$ là các số thực cho trước đôi một phân biệt. Xét hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix} \frac{x_{1}}{a_{1}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{1}-b_{2}}+...\frac{x_{n}}{a_{1}-b_{n}}=1 \;\;\\ \frac{x_{1}}{a_{2}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{2}-b_{2}}+...+\frac{x_{n}}{a_{2}-b_{n}}=1 \;\;\\ .......................................\\ \frac{x_{1}}{a_{n}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{n}-b_{2}}+...+\frac{x_{n}}{a_{n}-b_{n}}=1 \;\;\end{matrix}\right.$$
a)Giải hệ phương trình
b)Tính tổng các ngiệm
Ta biểu diễn hệ trên bằng ma trận $A$
$$A=(a_{ij})_{ij}=\begin{bmatrix}
\dfrac{1}{a_1-b_1}&\dfrac{1}{a_1-b_2} &... & \dfrac{1}{a_1-b_n} &1 \\
\dfrac{1}{a_2-b_1}&\dfrac{1}{a_2-b_2} &... &\dfrac{1}{a_2-b_n} &1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
\dfrac{1}{a_n-b_1}&\dfrac{1}{a_n-b_2} &... & \dfrac{1}{a_n-b_n} & 1\\
\end{bmatrix}$$
Việc giải hệ quy về việc biến đổi sơ cấp dòng đưa $A'$ ($A'$ có được từ $A$ bỏ đi cột cuối cùng) về ma trận bậc thang.
$$A \overset{d_{n}-d_i}{\longrightarrow} \begin{bmatrix}
\frac{a_1-a_n}{(a_1-b_1)(a_n-b_1)} &\frac{a_1-a_n}{(a_1-b_2)(a_n-b_2)} &... &\frac{a_1-a_n}{(a_1-b_n)(a_n-b_n)}&0 \\
\frac{a_2-a_n}{(a_2-b_1)(a_n-b_1)}&\frac{a_2-a_n}{(a_2-b_2)(a_n-b_2)} &... &\frac{a_2-a_n}{(a_2-b_n)(a_n-b_n)} &0\\
\vdots & \vdots & & \vdots &\\
\frac{a_{n-1}-a_n}{(a_{n-1}-b_1)(a_n-b_1)} &\frac{a_{n-1}-a_n}{(a_{n-1}-b_2)(a_n-b_2)} & ... & \frac{a_{n-1}-a_n}{(a_{n-1}-b_n)(a_n-b_n)}&0\\
\frac{1}{a_n-b_1}&\frac{1}{a_n-b_2} &... &\frac{1}{a_n-b_n} &1
\end{bmatrix}$$
$$ \overset{\frac{d_i}{a_i-a_{n}}}{\longrightarrow} \begin{bmatrix}
\frac{1}{(a_1-b_1)(a_n-b_1)} &\frac{1}{(a_1-b_2)(a_n-b_2)} &... &\frac{1}{(a_1-b_n)(a_n-b_n)}&0 \\
\frac{1}{(a_2-b_1)(a_n-b_1)}&\frac{1}{(a_2-b_2)(a_n-b_2)} &... &\frac{1}{(a_2-b_n)(a_n-b_n)} &0\\
\vdots & \vdots & & \vdots &\\
\frac{1}{(a_{n-1}-b_1)(a_n-b_1)} &\frac{1}{(a_{n-1}-b_2)(a_n-b_2)} & ... & \frac{1}{(a_{n-1}-b_n)(a_n-b_n)}&0\\
\frac{1}{a_n-b_1}&\frac{1}{a_n-b_2} &... &\frac{1}{a_n-b_n} &1
\end{bmatrix}$$
$\overset{d_n-(a_i-b_n)d_i}{\longrightarrow} \begin{bmatrix}
\frac{b_n-b_1}{(a_n-b_1)(a_1-b_1)} &\frac{b_n-b_2}{(a_n-b_2)(a_1-b_2)} & ... & \frac{b_n-b_{n-1}}{(a_n-b_{n-1})(a_1-b_{n-1})} &0&1 \\
\frac{b_n-b_1}{(a_n-b_1)(a_2-b_1)} &\frac{b_n-b_2}{(a_n-b_2)(a_2-b_2)} &... &\frac{b_n-b_{n-1}}{(a_n-b_{n-1})(a_{2}-b_{n-1})} &0&1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \\ \frac{b_n-b_1}{(a_n-b_1)(a_{n-1}-b_1)} &\frac{b_n-b_2}{(a_n-b_2)(a_{n-1}-b_2)} &...&\frac{b_n-b_{n-1}}{(a_n-b_{n-1})(a_{n-1}-b_{n-1})}& 0& 1 \\
\frac{1}{a_n-b_1}&\frac{1}{a_n-b_2} &... &\frac{1}{a_n-b_{n-1}} &\frac{1}{a_n-b_n}&1
\end{bmatrix}$
tương tụ như vậy, áp dụng quy trình gồm 3 bước :$ d_{n-1}-d_i \to d_i \;\;, \dfrac{d_i}{a_i-a_{n-1}} \to d_i \;\;, d_{n-1}-(a_i-a_{n-1})d_i\to d_i$ ta thu được ma trận
$ \begin{bmatrix}
\frac{(b_n-b_1)(b_{n-1}-b_1)}{(a_n-b_1)(a_{n-1}-b_1)(a_1-b_1)} &\frac{(b_n-b_2)(b_{n-1}-b_2)}{(a_n-b_2)(a_{n-1}-b_2)(a_1-b_2)} & ... & \frac{(b_n-b_{n-1})(b_{n-1}-b_{n-2})}{(a_n-b_{n-2})(a_{n-1}-b_{n-2})(a_1-b_{n-2})} &0&0&1 \\
\frac{(b_n-b_1)(b_{n-1}-b_1)}{(a_n-b_1)(a_{n-1}-b_1)(a_2-b_1)} &\frac{(b_n-b_2)(b_{n-1}-b_2)}{(a_n-b_2)(a_{n-1}-b_2)(a_2-b_2)} &... &\frac{(b_n-b_{n-1})(b_{n-1}-b_{n-2})}{(a_n-b_{n-2})(a_{n-1}-b_{n-2})(a_{2}-b_{n-2})} &0&0&1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \\\frac{(b_n-b_1)(b_{n-1}-b_1)}{(a_n-b_1)(a_{n-1}-b_1)(a_{n-2}-b_1)}&\frac{(b_n-b_2)(b_{n-1}-b_2)}{(a_n-b_2)(a_{n-1}-b_2)(a_{n-2}-b_2)}&...&\frac{(b_n-b_{n-1})(b_{n-1}-b_{n-2})}{(a_n-b_{n-2})(a_{n-1}-b_{n-2})(a_{n-2}-b_{n-2})}&0&0&1 \\ \frac{b_n-b_1}{(a_n-b_1)(a_{n-1}-b_1)} &\frac{b_n-b_2}{(a_n-b_2)(a_{n-1}-b_2)} &...&&\frac{b_n-b_{n-1}}{(a_n-b_{n-1})(a_{n-1}-b_{n-1})}& 0& 1 \\
\frac{1}{a_n-b_1}&\frac{1}{a_n-b_2} &... & &\frac{1}{a_n-b_{n-1}} &\frac{1}{a_n-b_n}&1
\end{bmatrix}$
Tiếp tục thục hiện quy trình gồm 3 bước tương tự trên, sau $n-1$ lần quy trình 3 bước, ta thu được ma trận
$\begin{bmatrix}
\frac{\prod_{k=2}^{n}(b_k-b_1)}{\prod_{k=1}^n(a_k-b_1)} & 0 &... &0 &0&0 &1 \\
\frac{\prod_{k=3}^n(b_k-b_1)}{\prod_{k=2}^n (a_k-a_1)} & \frac{\prod_{k=3}^n(b_k-b_2)}{\prod_{k=2}^n(a_k-b_2)} & ..& 0&0&0 &1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \\
\frac{b_n-b_1}{(a_n-b_1)(a_{n-1}-b_1)} &\frac{b_n-b_2}{(a_n-b_2)(a_{n-1}-b_2)} &..&&\frac{b_n-b_{n-1}}{(a_n-b_{n-1})(a_{n-1}-b_{n-1})}& 0& 1 \\
\frac{1}{a_n-b_1}&\frac{1}{a_n-b_2} &.. & &\frac{1}{a_n-b_{n-1}} &\frac{1}{a_n-b_n}&1
\end{bmatrix}$
Do đó $\forall i \in \{1,...,n\} \;\;,x_i=\dfrac{\prod_{k=2\;,k \neq i}^n (b_k-b_i)}{\prod_{k=1}^n(a_k-b_i)}$
Từ đây suy ra tổng tất cả các nghiệm bằng $a_1+a_2+...+a_n-(b_1+b_2+...+b_n) $