Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho dãy số thỏa $x_1=1;x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},n=1,2... $ Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 11-01-2013 - 21:24

Cho dãy số xác định bởi $x_1=1;x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},n=1,2... $
Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-01-2013 - 21:24

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#2 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 12-06-2019 - 20:07

Cho dãy số xác định bởi $x_1=1;x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},n=1,2... $
Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.

 

Ta có $x_{1}=1\Rightarrow x_{2}=\frac{1}{4},x_{3}=-\frac{15142}{17}<0$

Và bắt đầu từ $x_{4}$ thì mọi số hạng của dãy đều lớn hơn $0$ ( dễ chứng minh được )

Nên ta có $x_{n}>0,\forall n\geq 4$

Lại có: $x_{n+1}=1010-\frac{4039}{2\left ( x_{n}^{2}+1 \right )}<1009$

Ta xét hàm số: $f(x)=\frac{2020x^{2}-2019}{2\left ( x^{2}+1 \right )}, \forall 0<x<1009$

Khi đó: $f(x)=1010-\frac{4039}{2\left ( x^{2}+1 \right )}$$\Rightarrow f^{'}(x)=\frac{4039x}{(x^{2}+1)^{2}}>0,\forall 0<x<1009$

Vậy $f$ đồng biến trên $(0;1009)$ 

Dễ thấy $(x_{n})$ là dãy số tăng ngặt mà bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn

Giả sử $limx_{n}=L; (0<L<1009)$ đến đây giải phương trình giới hạn ta tính được $L$ ( hình như số lẻ :v )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 12-06-2019 - 20:08

  N.D.P 

#3 thanhngoc24012008

thanhngoc24012008

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 20-06-2019 - 17:29

Ta có x1=1x2=14,x3=1514217<0x1=1⇒x2=14,x3=−1514217<0

Và bắt đầu từ x4x4 thì mọi số hạng của dãy đều lớn hơn 00 ( dễ chứng minh được )

Nên ta có xn>0,n4xn>0,∀n≥4

Lại có: xn+1=101040392(x2n+1)<1009xn+1=1010−40392(xn2+1)<1009

Ta xét hàm số: f(x)=2020x220192(x2+1),0<x<1009f(x)=2020x2−20192(x2+1),∀0<x<1009

Khi đó: f(x)=101040392(x2+1)f(x)=1010−40392(x2+1)f(x)=4039x(x2+1)2>0,0<x<1009⇒f′(x)=4039x(x2+1)2>0,∀0<x<1009

Vậy ff đồng biến trên (0;1009)(0;1009)

Dễ thấy (xn)(xn) là dãy số tăng ngặt mà bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn

Giả sử limxn=L;(0<L<1009)limxn=L;(0<L<1009) đến đây giải phương trình giới hạn ta tính được LL






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh