Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho dãy số xác định bởi $x_1=1;x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},n=1,2... $
Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-01-2013 - 21:24

[hoangkimca2k2]

Cho dãy số xác định bởi $x_1=1;x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},n=1,2... $
Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.

 

Ta có $x_{1}=1\Rightarrow x_{2}=\frac{1}{4},x_{3}=-\frac{15142}{17}<0$

Và bắt đầu từ $x_{4}$ thì mọi số hạng của dãy đều lớn hơn $0$ ( dễ chứng minh được )

Nên ta có $x_{n}>0,\forall n\geq 4$

Lại có: $x_{n+1}=1010-\frac{4039}{2\left ( x_{n}^{2}+1 \right )}<1009$

Ta xét hàm số: $f(x)=\frac{2020x^{2}-2019}{2\left ( x^{2}+1 \right )}, \forall 0<x<1009$

Khi đó: $f(x)=1010-\frac{4039}{2\left ( x^{2}+1 \right )}$$\Rightarrow f^{'}(x)=\frac{4039x}{(x^{2}+1)^{2}}>0,\forall 0<x<1009$

Vậy $f$ đồng biến trên $(0;1009)$ 

Dễ thấy $(x_{n})$ là dãy số tăng ngặt mà bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn

Giả sử $limx_{n}=L; (0<L<1009)$ đến đây giải phương trình giới hạn ta tính được $L$ ( hình như số lẻ :v )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 12-06-2019 - 20:08