Chủ đề này có 15 trả lời

[vo van duc]

Cho $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ thỏa $2012A^{3}=2011A+I_{n}$

Chứng minh rằng tồn tại giới hạn $\underset{k\rightarrow \propto }{lim}A^{k}=D$ và $D^{2}=D$

[cuong148]

Cho $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ thỏa $2012A^{3}=2011A+I_{n}$

Chứng minh rằng tồn tại giới hạn $\underset{k\rightarrow \propto }{lim}A^{k}=D$ và $D^{2}=D$

Sao em làm mà không ra nhỉ.Thiếu cái bậc 2 ở đầu nghe vẻ không ổn..Anh xem lại hộ em với.

[GreatLuke]

Đa thức triệt tiêu của $A$ tách đơn nên $A$ chéo hóa được.

Phương trình $2012x^{3}-2011x-1=0$ có $3$ nghiệm thực phân biệt mà các nghiệm này $\leq 1$ nên $A$ có các giá trị riêng $ \lambda_{i} \leq 1$. Do vậy tồn tại $\underset{k\rightarrow \propto }{lim} \lambda_{i}^{k}=0$ hoặc $1$.

Vậy tồn tại $\underset{k\rightarrow \propto }{lim}A^{k}=D$ với $D=PMP^{-1}$ trong đó $M$ là ma trận đường chéo gồm các phần tử là $0$ hoặc $1$. Dễ dàng chứng minh $D^{2}=D$.

[vo van duc]

@GreatLuke: Thắng hay sử dụng "đa thức triệt tiêu tách đơn nên A chéo hóa được". Em giải thích rỏ hơn về khái niệm "tách đơn" cho anh em tham khao với. hi

[GreatLuke]

Đa thức bậc $n$ tách đơn trong trường $K$ thì nó có đúng $n$ $0$-điểm phân biệt. Em học theo sách PFIEV nên hay dùng định lý này^^.

Cũng không biết là lúc đi thi olympic cấp trường hoặc cấp quốc gia có được dùng không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 04-02-2013 - 12:41

[vo van duc]

Sách của em là của Pháp nên phải giải thích một số thuật ngữ mới được. hi.

Góp thêm một chút để rộng đường thảo luận. hi

* Một đa thức $P$ của $K[X]$ được gọi là đa thức tách (hay: tách được) trên $K$ khi và chỉ khi tồn tại $\lambda \in K-{0}$, $n\in \mathbb{N}^{*}$, $x_{1},...,x_{n} \in K$ sao cho:

$P=\lambda \prod_{i=1}^{n}(X-x_{i})$

Ở đây $x_{1},..x_{n}$ không nhất thiết khác nhau từng đôi.

Thắng dùng khái niệm "tách đơn" có lẻ là $x_{1},...,x_{n}$ khác nhau từng đôi một

* $0$- điểm là nghiệm của đa thức

* Hệ quả của định lý d'Alembert: Mọi đa thức khác hằng thuộc $\mathbb{C}[X]$ đều tách được trên $\mathbb{C}$

.............................

"phudinhgioihan" góp nhận xét với nào! Anh dân không chuyên nên chưa nghiên cứu sâu phần này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 04-02-2013 - 20:41

[quangbinng]

Cho em hỏi định lí đó ntn ạ, sao chỉ nhìn vào đa thức triệt tiêu có thể biết nó chéo hóa được, em chỉ biết là chéo hóa được khi có đủ n vector độc lâp tuyen tính thôi ạ, ngoài ra thì điều kiện lỏng hơn là đa thức đặc trưng có n nghiệm phân biệt.

[Nxb]

Cho em hỏi định lí đó ntn ạ, sao chỉ nhìn vào đa thức triệt tiêu có thể biết nó chéo hóa được, em chỉ biết là chéo hóa được khi có đủ n vector độc lâp tuyen tính thôi ạ, ngoài ra thì điều kiện lỏng hơn là đa thức đặc trưng có n nghiệm phân biệt.

Có lẽ ý của định lý kia là thế này: Giả sử $P \in K[x]$. P nhận A làm nghiệm. Khi đó nếu P có đủ nghiệm không tính bội thì A chéo hóa được. Còn nếu như cần điều kiện cần và đủ thì sách thầy Hưng có rồi mà. Còn định này chắc chỉ đủ mà thôi.

[quangbinng]

Có lẽ ý của định lý kia là thế này: Giả sử $P \in K[x]$. P nhận A làm nghiệm. Khi đó nếu P có đủ nghiệm không tính bội thì A chéo hóa được. Còn nếu như cần điều kiện cần và đủ thì sách thầy Hưng có rồi mà. Còn định này chắc chỉ đủ mà thôi.

 

cái pt trình kia có không quá 3 nghiệm nếu A bậc n thì ko tính nghiệm bội thì làm sao đủ n nghiệm ạ ??

[Nxb]

cái pt trình kia có không quá 3 nghiệm nếu A bậc n thì ko tính nghiệm bội thì làm sao đủ n nghiệm ạ ??

Đa thức đó bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt. Cái này thực chất là hệ quả 6.8 trong sách thầy Hưng là một điều kiện cần và đủ kiểu khác của chéo hóa được. Nếu P là đa thức đủ nghiệm không tính bội nên đa thức đặc trưng của A chia hết P có đủ nghiệm kể cả bội và đa thức tối tiểu của nó có dạng $\prod_{i=1}^{m}(X-\lambda_i)$ với $\lambda_i$ phân biệt. Theo mình thì câu hỏi cần đặt ra là tìm vd về một ma trận A như trên chứ nếu không thể áp dụng vào làm bất cứ việc gì thì những bài toán thế này rất vô nghĩa.

[quangbinng]

Đa thức đó bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt. Cái này thực chất là hệ quả 6.8 trong sách thầy Hưng là một điều kiện cần và đủ kiểu khác của chéo hóa được. Nếu P là đa thức đủ nghiệm không tính bội nên đa thức đặc trưng của A chia hết P có đủ nghiệm kể cả bội và đa thức tối tiểu của nó có dạng $\prod_{i=1}^{m}(X-\lambda_i)$ với $\lambda_i$ phân biệt. Theo mình thì câu hỏi cần đặt ra là tìm vd về một ma trận A như trên chứ nếu không thể áp dụng vào làm bất cứ việc gì thì những bài toán thế này rất vô nghĩa.

 

 Hệ quả 6.8 chương mấy anh, em mở chương giá trị riêng thì  thấy có mỗi 5 bài.

Em tưởng cách tìm các ma trận như  vậy là lấy 1 ma trận khả nghịch bất kì P rồi viết ra 1 ma trận có các giá trị riêng trên đường chéo thỏa mãn P(x) thì $A=P^{-1} D P$

[Nxb]

 Hệ quả 6.8 chương mấy anh, em mở chương giá trị riêng thì  thấy có mỗi 5 bài.

Em tưởng cách tìm các ma trận như  vậy là lấy 1 ma trận khả nghịch bất kì P rồi viết ra 1 ma trận có các giá trị riêng trên đường chéo thỏa mãn P(x) thì $A=P^{-1} D P$

Trang 196. Nếu là sách photo thì có thể in thiếu đấy. Bình thường ta phải tìm các giá trị riêng của ma trận bằng cách giải đa thức đặc trưng. Sau đó tìm cơ sở của các không gian con riêng để tìm ma trận chuyển P. Không hiểu ý của em. Để chéo hóa ma trận ta phải làm tuần tự như vậy chứ.

[quangbinng]

Thì anh bảo lấy ví dụ về 1 ma trận  như vậy thì em làm vậy ạ:|

 

Em có bản pdf thôi, nhưng em lướt mạng thấy người ta bảo có cả quyển 2 ko biết có phải quyển này không ạ.

Hình gửi kèm

• 

[Nxb]

Thì anh bảo lấy ví dụ về 1 ma trận  như vậy thì em làm vậy ạ:|

 

Em có bản pdf thôi, nhưng em lướt mạng thấy người ta bảo có cả quyển 2 ko biết có phải quyển này không ạ.

Trời. Lấy ví dụ để thấy nó có ích cơ mà. Thế hóa ra không có sách à. Cứ giở trang anh bảo sẽ thấy. Nên đọc sách trước đi để đỡ phải làm việc với quá nhiều trường hợp riêng mà không có ích gì cả.

[quangbinng]

Trời. Lấy ví dụ để thấy nó có ích cơ mà. Thế hóa ra không có sách à. Cứ giở trang anh bảo sẽ thấy. Nên đọc sách trước đi để đỡ phải làm việc với quá nhiều trường hợp riêng mà không có ích gì cả.

 

 

Nhưng cái mục lục sách kia của em, trang 196 nằm ở đoạn giữa chỗ KHÔNG GIAN EUCLIDE VÀ ÁNH XẠ TRỰC GIAO, đâu có định lí đó ạ.

[Nxb]

Nhưng cái mục lục sách kia của em, trang 196 nằm ở đoạn giữa chỗ KHÔNG GIAN EUCLIDE VÀ ÁNH XẠ TRỰC GIAO, đâu có định lí đó ạ.

Vậy nếu có thể thì hãy đi tìm quyển sách khác. Có thể quyển em đọc lâu rồi nên người ta chưa kịp chỉnh sửa. Nếu thế thì thậm chí đa thức tối tiểu em cũng chưa biết. Thế thì ta có thể giải thích thế này: xét dạng chuẩn Jordan J của A. Khi đó J là ma trận khối gồm các khối có đương chéo chính là $\lambda$ và đương chéo dưới đường chéo chính gồm toán các số 1 còn lại là 0. Xét khối $J_\lambda$ ứng với giá trị riêng $\lambda$ bất kì. Ta có khối đó đó cũng thỏa mãn f=0. Tức là $f(J_\lambda)=0$. Ta chứng minh được rằng $f(J_\lambda)$ là một ma trận có đường chéo chính là $f(\lambda)$ và đường chéo dưới đường chéo chính là $f'(\lambda)$ (ta chỉ quan tâm 2 đường chéo này cái này có thể chứng minh bằng quy nạp) nếu như ma trận $J_\lambda$ có cấp lớn hơn 1. Nhưng như vậy ta sẽ có $f(\lambda)=0$ và $f'(\lambda)=0$. Trong khi đó đa thức f có nghiệm đơn nên không thể xảy ra điều này. Như vậy dạng chuẩn Jordan của $A$ gồm toàn các khối Jordan cấp 1. Tức là A chéo hóa được. Trong trường hợp các nghiệm của f đều thực thì ta có các khối Jordan của A đều toàn các giá trị thực trên đường chéo(do thỏa mãn f=0) nên từ đây ta còn suy ra được là A chéo hóa được trên trường thực. Cái nây chẳng qua là diễn lại kiến thức trong sách thầy Hưng sao cho không phải nói đa thức tối tiểu. Nhưng tốt nhất là nên đọc sách để thêm kiến thức.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 30-11-2014 - 09:49