Chủ đề này có 4 trả lời

[WhjteShadow]

Bài 5: (7,0 điểm)
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013$ và
$$\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right)$$ đúng với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, trong đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-01-2013 - 12:01

[WhjteShadow]

Ch0 $x \neq 0,y=0$ ta thu được phương trình:
$$x.f(f^2(x))=f^3(x)$$
$$\Rightarrow f(f^2(x))=\frac{f^3(x)}{x}\,\, \forall x\neq 0$$
Thay lại vào phương trình đầu ta được:
$$(x-y).\left[\frac{f^3(x)}{x}-\frac{f^3(y)}{y}\right]=\left(f(x)-f(y)\right).\left(f^2(x)-f^2(y)\right)\,\,\,\forall x,y\neq 0 (*)$$
Ch0 $y=1,x< 0$ vào $(*)$ ta có:
$$(x-1)\left[\frac{f^3(x)}{x}-2013^3\right]=\left(f(x)-2013\right).\left(f^2(x)-2013^2\right)$$
$$\Leftrightarrow \left(f(x)-2013x\right).\left(f^2(x)-2013^2x\right)=0$$
Mà $f^2(x)=2013^2x>0$ với $x<0$
$\Rightarrow f(x)=2013x\,\forall x<0\Rightarrow f(-1)=-2013$.
Ch0 $x>0,y=-1$ vào $(*)$ ta lại có:
$$(x+1).\left[\frac{f^3(x)}{x}+2013^3\right]=\left(f(x)+2013\right).\left(f^2(x)-2013^2\right)$$
$$\Leftrightarrow \left(f(x)-2013x\right).\left(f^2(x)+2013^2x\right)=0$$
$\Rightarrow f(x)=2013x$. Thử lại ta thấy đúng !
Vậy $f(x)=2013x$ $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 12-01-2013 - 13:38

[tranghieu95]

Ch0 $x \neq 0,y=0$ ta thu được phương trình:
$$x.f(f^2(x))=f^3(x)$$
$$\Rightarrow f(f^2(x))=\frac{f^3(x)}{x}\,\, \forall x\neq 0$$
Thay lại vào phương trình đầu ta được:
$$(x-y).\left[\frac{f^3(x)}{x}-\frac{f^3(y)}{y}\right]=\left(f(x)-f(y)\right).\left(f^2(x)-f^2(y)\right)\,\,\,\forall x,y\neq 0 (*)$$
Ch0 $y=1,x< 0$ vào $(*)$ ta có:
$$(x-1)\left[\frac{f^3(x)}{x}-2013^3\right]=\left(f(x)-2013\right).\left(f^2(x)-2013^2\right)$$
$$\Leftrightarrow \left(f(x)-2013x\right).\left(f^2(x)-2013^2x\right)=0$$
Mà $f^2(x)=2013^2x>0$ với $x<0$
$\Rightarrow f(x)=2013x\,\forall x<0\Rightarrow f(-1)=-2013$.
Ch0 $x>0,y=-1$ vào $(*)$ ta lại có:
$$(x+1).\left[\frac{f^3(x)}{x}+2013^3\right]=\left(f(x)+2013\right).\left(f^2(x)-2013^2\right)$$
$$\Leftrightarrow \left(f(x)-2013x\right).\left(f^2(x)+2013^2x\right)=0$$
$\Rightarrow f(x)=2013x$. Thử lại ta thấy đúng !
Vậy $f(x)=2013x$ $\square$

Em thử kiểm tra lại đoạn màu đỏ nhé.
Đoạn này tranghieu95 làm thế này.
Giả sử tồn tại $x \ne 0; 1$ mà $f^2(x)=2013^2x$ thì:
$xf(2013^2x)=f(x).2013^2x$
$\Leftrightarrow f(2013^2x)=2013f(x)$
Bình phương 2 vế ta đc:
$f^2(2013x^2)=2013^2f^2(x)$
$\Leftrightarrow f^2(2013x^2)=2013^6x$
Loại vì $f^2(2013^2x)=2013^4x$ hoặc $2013^6x^2$

[namcpnh]

Mình có ý tưởng như thế này mọi người xem thử.

Dễ dàng chứng minh được $f$ là 1 đơn ánh.

Khi đó nếu $x=y$ thì $f(x)=f(y)$ và PTH đề cho thành $0=0$ .

=>$x\neq y$.

Nếu tồn tại $x_0, y_0$ sao cho $f^2(x_0)= f^2(y_0)$ thì thay vào PTH ta cũng có $0=0$.

=>$f^2(x)\neq f^2(y), \forall x,y\in \mathbb{R}$.

Khii đó PTH thành $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\frac{f(f^2(x))-f(f^2(y))}{f^2(x)-f^2(y)}$.

Bây giờ chỉ phải cm $f(x)=a$ nữa là xong (công việc đơn giản chắc mọi người gặp nhiều rồi ).

[caokhanh97]

tại sao được nửa bài của White Shadow không kết luận luôn $f(x)= 2013x$ còn đoạn sau làm gì

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caokhanh97: 18-01-2013 - 18:02