Chủ đề này có 15 trả lời

[WhjteShadow]

Bài 6: (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-01-2013 - 12:01

[WhjteShadow]

Câu a như biếu điểm =))
Từ $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABH,ACH$ lần lượt tại $M',N'$
Do $AHN'=AHM'=90^{o}\Rightarrow AM',AN'$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABH,ACH$
Để ý thấy $\widehat{AM'N'}=\widehat{AMN}=\widehat{AMH}=\widehat{ABH}\\ \widehat{AN'M'}=\widehat{ANM}=\widehat{ANH}=\widehat{ACH}$
$\Rightarrow \triangle AMN \sim \triangle AM'N'$
Mà $AM\leq AM',AN\leq AN'$, $\frac{S_{AMN}}{S_{AM'N'}}=\frac{AM^2}{AM'^2}\leq 1$
Vậy $R_{AMN}$ lớn nhất khi và chỉ khi $\Delta \perp AH$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 12-01-2013 - 16:28

[nthoangcute]

Bài 6: (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định

a) E,F là tâm $(ABH),(ACH)$
Có $\angle AMN=\angle ABH=\angle ACH=\angle ANM$ suy ra $\Delta AMN$ cân tại A
$\angle MAN=\dfrac{1}{2} (\angle MEH+\angle HFN)=\angle EHF=const$
Suy ra $S_{MNA} \max$ khi và chỉ khi $d_{(A/\Delta)} \max$. Khi đó $\Delta \perp AH$
---------
A: Cách t lớp 9 thầy Ý dậy =))
B: Sặc, tớ chẳng nhớ gì nữa, rõ ràng làm rồi. Câu b thì $PA=const$, gần chứng minh xong !
A:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 12-01-2013 - 12:58

[nthoangcute]

Haizzz
b) $\angle BAC=180^o-\angle BDC=\angle MPN$
$\angle MAN=\angle EHF
=\angle EAF=2\angle BAC$
Suy ra $\angle MAN=\angle MPN$ mà $\Delta MAN$ cân tại $A$ nên $P$ thuộc $(A,AM)$

Làm tiếp ở #11

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 12-01-2013 - 17:40

[perfectstrong]

Haizzz
b) $\angle BAC=180^o-\angle BDC=\angle MPN$
$\angle MAN=\angle EHF
=\angle EAF=2\angle BAC$
Suy ra $\angle MAN=\angle MPN$ mà $\Delta MAN$ cân tại $A$ nên $P$ thuộc $(A,AM)$
Suy ra đpcm

Em giải sai rồi? $P$ đâu có nằm trên đường tròn đó?

[triethuynhmath]

Haizzz
b) $\angle BAC=180^o-\angle BDC=\angle MPN$
$\angle MAN=\angle EHF
=\angle EAF=2\angle BAC$
Suy ra $\angle MAN=\angle MPN$ mà $\Delta MAN$ cân tại $A$ nên $P$ thuộc $(A,AM)$
Suy ra đpcm

Em giải sai rồi? $P$ đâu có nằm trên đường tròn đó?

Theo em nghĩ cách bạn này giải sai ở chỗ $M,N$ là 2 điểm di động, chỉ có $D$ là cố định nên lời giải này không chính xác vì $(A;AM)$ là đường tròn di động.

[barcavodich]

Theo em nghĩ cách bạn này giải sai ở chỗ $M,N$ là 2 điểm di động, chỉ có $D$ là cố định nên lời giải này không chính xác vì $(A;AM)$ là đường tròn di động.

$ M $ di chuyển do đường thẳng qua $ H $ không phải cố định nên câu b của bạn sai rồi

[triethuynhmath]

$ M $ di chuyển do đường thẳng qua $ H $ không phải cố định nên câu b của bạn sai rồi

Mình có phải là người giải đâu bạn

[nthoangcute]

Chết, em nhầm đề ! (Em tưởng là $\Delta$ cố định, D thay đổi). Sorry

[nthoangcute]

Chém tiếp như sau:
$P \in (A,AM)$
Gọi E,F như câu a)
Qua E,F kẻ đường thẳng vuông góc với $BD,CD$, cắt nhau tại I
Khi đó $\angle EIF=\angle MPN=\dfrac{1}{2} \angle MAN=\dfrac{1}{2} \angle EAF$
Suy ra $I \in (A,AO)$, $I$ cố định
Gọi $S,R$ là trung điểm $PM, IE$
Khi đó $AS, AR$ đều vuông góc với PM
Suy ra $A,R,S$ thẳng hàng
Suy ra $PI=EM=R$
Suy ra $P \in (I,R)$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 12-01-2013 - 17:47

[duyhunter142857]

ủa sao AS$\perp$PM

[ducthinh26032011]

.....
Suy ra $I \in (A,AO)$, $I$ cố định
....

Sao suy ra hay vậy.@@
P/s:Hôm qua cậu giải bài 3b cũng ảo,nhìn rối kinh lên được.@@

[duyhunter142857]

Dễ mà (ABH), (ACH), (ABC) có bán kính = nhau do $\frac{AB}{sin\angle AHB}=\frac{AC}{sin\angle AHC}=\frac{AB}{sin\angle ACB}=\frac{AC}{sin\angle ABC}$

[thanhdotk14]

ủa sao AS$\perp$PM

Tại vì $P,M$ cùng thuộc $(A;AM)$

[nthoangcute]

Sao suy ra hay vậy.@@
P/s:Hôm qua cậu giải bài 3b cũng ảo,nhìn rối kinh lên được.@@

Đúng rồi mà, nhìn vào mình cũng thấy $I,E,F,O$ cùng thuộc 1 đường tròn tâm A
BD cố định nên IE cố định
=> I cố định
______
P/s: Nhìn hơi ảo, không biết đáp án như nào nữa...

[namcpnh]

Ta có thể đánh giá như sau:

$d(a;MN)\leq AH$ và $MN\leq M'N'$

=>$S_{\Delta AMN}$ max khi MN vuông góc với AH.