Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Bài 7: (6,0 điểm)
Tìm số các bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa
\[\left\{ \begin{array}{l}
ab + a'b' \equiv 1(\bmod 15)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
ac + a'c' \equiv 1(\bmod 15)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
bc + b'c' \equiv 1(\bmod 15)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)
\end{array} \right.\]
Với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1...14 \right\}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 12-01-2013 - 13:55

[nguyenta98]

Bài 7: (6,0 điểm)
Tìm số các bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa
\[\left\{ \begin{array}{l}
ab + a'b' \equiv 1(\bmod 15)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
ac + a'c' \equiv 1(\bmod 15)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
bc + b'c' \equiv 1(\bmod 15)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)
\end{array} \right.\]
Với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1...14 \right\}$

Có ý tưởng này, giờ khai thác nốt $mod(5)$ rồi Thặng Dư Trung Hoa là ra
Giải như sau:
Chia thành hai nhóm $(a,b,c)$ và nhóm $(a',b',c')$
TH1: Cả hai nhóm các số đôi một nguyên tố cùng nhau với $3$
Khi ấy
\[\left\{ \begin{array}{l}
ab \equiv 1-a'b'(\bmod 3)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
ac \equiv 1-a'c'(\bmod 3)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
bc \equiv 1-b'c'(\bmod 3)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)
\end{array} \right.\]
Và $a,b,c,a',b',c'$ ng tố cùng nhau với $3$ nên $ab,bc,ca,1-a'b',1-b'c',1-c'a'$ cũng vậy $(1)$
Ta thấy $a'b',b'c',c'a'$ không có hai số nào đồng dư với nhau theo $mod(3)$ $(2)$ vì ngược lại giả sử $a'b' \equiv b'c' \Rightarrow a' \equiv c' \pmod{3}$ nên $1-a'c' \vdots 3$ mâu thuẫn $(1)$ mà cũng theo $(1)$ suy ra $a'b',b'c',c'a'$ không thể chia hết cho $3$ nên $a'b',b'c',c'a'$ chỉ có các số dư $1,2 \pmod{3}$ nhưng khi ấy theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số cùng số dư khi chia cho $3$ mâu thuẫn $(2)$ trường hợp này loại
TH2: Trong $6$ số ở hai nhóm có số chia hết cho $3$ giả sử nó ở nhóm $1$ và giả sử nó là số $a \vdots 3$
Khi ấy thấy ở nhóm hai $(a',b',c')$ không có số nào chia hết cho $3$ vì nếu $a' \vdots 3$ thì $ab+a'b' \equiv 0 \pmod{3}$ vô lí, tương tự với $b',c'$ do đó $gcd(a',3)=gcd(b',3)=gcd(c',3)=1$
Như vậy $a \vdots 3$ và $(a',b',c')$ cùng không chia hết cho $3$ mặt khác $a \vdots 3 \Rightarrow ab,ac \vdots 3 \Rightarrow a'b' \equiv a'c' \equiv 1 \pmod{3}$ và do $gcd(a',3)=1$ suy ra $b' \equiv c' \pmod{3}$ mà $gcd(b',3)=gcd(c',3)=1$ nên $b'c' \equiv b'^2 \equiv 1 \pmod{3}$ nên $bc \equiv 0 \pmod{3}$ nên $b$ hoặc $c \vdots 3$ giả sử $b \vdots 3$ như vậy $a,b \vdots 3$ nên ta xét th $c \not \vdots 3$ thì sau khi xét xong ta phải nhân $3$ lần lên do hoán vị của $(a,b,c)$ còn trường hợp cả ba số $(a,b,c) \vdots 3$ thì chỉ cần một lần xét là đủ
Giờ vấn đề là $mod(5)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 12-01-2013 - 17:58

[barcavodich]

ta chia ra làm $ mod 3 $ và $ mod 5 $
Dễ thấy rằng $ abc $ và $ a'b'c' $ không cùng chia hết cho 3 nên giả sử $ abc $ không chia hết cho 3 thì chia 3 dư 1,2 nên sẽ có 2 trong 3 số đồng dư với nhau theo modulo 3 chẳng hạn là $ a,b $
suy ra $ a'b' $ chia het cho 3
ta suy ra rằng cả ba số $ a,b,c $ đồng dư với nhau mod3
và trong 3 số a',b',c' có 2 số chia hết cho3 số còn lại tùy ý do đó số bộ là 2.2.7=28 bộ
bây giờ ta xét modulo 5
Dễ thấy rằng $ abc $ và $ a'b'c' $ không cùng chia hết cho 5
tương tự thop trên có 124 bộ
vậy có tất cả 28.124=3472 bộ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 15-01-2013 - 00:09