Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tính lũy thừa ma trận cấp 2 có các phần tử là hàm lượng giác


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 572 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 12-01-2013 - 19:54

Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} a\cos ^{2}t+b\sin^{2}t & (b-a)\sin t\cos t\\ (b-a)\sin t\cos t & a\sin ^{2}t+b\cos ^{2}t \end{pmatrix}$

Tính $A^{2012}$
Võ Văn Đức Hình đã gửi Hình đã gửi

#2 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 572 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 12-01-2013 - 21:32

Mới giải. Mọi người kiểm tra giúp tôi với nha!
..........................................................................

$A=\begin{pmatrix} a\cos ^{2}t+b\sin^{2}t & (b-a)\sin t\cos t\\ (b-a)\sin t\cos t & a\sin ^{2}t+b\cos ^{2}t \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} a(1-\sin ^{2}t)+b\sin ^{2}t & (b-a)\sin t\cos t\\ (b-a)\sin t\cos t & a(1-\cos ^{2}t)+b\cos ^{2}t \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} (b-a)\sin ^{2}t+a & (b-a)\sin t\cos t\\ (b-a)\sin t\cos t & (b-a)\cos ^{2}t+a \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} \frac{b-a}{2}(1-\cos 2t)+a & (b-a)\sin t\cos t\\ (b-a)\sin t\cos t & \frac{b-a}{2}(1+\cos 2t)+a \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} \frac{b-a}{2}(-\cos 2t)+\frac{a+b}{2} & \frac{b-a}{2}\sin 2t\\ \frac{b-a}{2}\sin 2t & \frac{b-a}{2}\cos 2t+\frac{a+b}{2} \end{pmatrix}$

$=\frac{b-a}{2}\begin{pmatrix} -\cos 2t & \sin 2t\\ \sin 2t & \cos 2t \end{pmatrix}+\frac{a+b}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$=\frac{b-a}{2}B+\frac{a+b}{2}I$

Với $B=\begin{pmatrix} -\cos 2t & \sin 2t\\ \sin 2t & \cos 2t \end{pmatrix}$

$B^{2}=I$ $B^{3}=B$

$B^{2k}=I$, $B^{2k+1}=B$ $\forall k\in \mathbb{N}$

Suy ra:

$A^{n}=\left ( \frac{b-a}{2}.B+\frac{a+b}{2}.I \right )^{n}$

$=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\left ( \frac{b-a}{2} \right )^{k}B^{k}\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n-k}$

$=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\frac{(b-a)^{k}.(a+b)^{n-k}}{2^{n}}.B^{k}$

$=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{n}^{2k}\frac{(b-a)^{2k}.(a+b)^{n-2k}}{2^{n}}.B^{2k}+\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{n}^{2k+1}\frac{(b-a)^{2k+1}.(a+b)^{n-2k-1}}{2^{n}}.B^{2k+1}$

$=\left ( \sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{n}^{2k}\frac{(b-a)^{2k}.(a+b)^{n-2k}}{2^{n}} \right ).I+\left ( \sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{n}^{2k+1}\frac{(b-a)^{2k+1}.(a+b)^{n-2k-1}}{2^{n}} \right ).B$

..................................................................................
Rút gọn được thì đẹp nhỉ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 12-01-2013 - 21:40

Võ Văn Đức Hình đã gửi Hình đã gửi

#3 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Thành viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 13-01-2013 - 02:24

$A^{n}=\left ( \frac{b-a}{2}.B+\frac{a+b}{2}.I \right )^{n}$

$=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\left ( \frac{b-a}{2} \right )^{k}B^{k}\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n-k}$

$=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\frac{(b-a)^{k}.(a+b)^{n-k}}{2^{n}}.B^{k}$

$=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{n}^{2k}\frac{(b-a)^{2k}.(a+b)^{n-2k}}{2^{n}}.B^{2k}+\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{n}^{2k+1}\frac{(b-a)^{2k+1}.(a+b)^{n-2k-1}}{2^{n}}.B^{2k+1}$

$=\left ( \sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{n}^{2k}\frac{(b-a)^{2k}.(a+b)^{n-2k}}{2^{n}} \right ).I+\left ( \sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{n}^{2k+1}\frac{(b-a)^{2k+1}.(a+b)^{n-2k-1}}{2^{n}} \right ).B$

..................................................................................
Rút gọn được thì đẹp nhỉ!


Thế thì cho đẹp nào :D

$$2^nb^n=(b-a+b+a)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k (b-a)^k(b+a)^{n-k}$$
$$=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]} C_{n}^{2k}(b-a)^{2k}(b+a)^{n-2k}+\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]} C_n^{2k+1}(b-a)^{2k+1}(b+a)^{n-2k-1} $$


$$2^na^n=(b+a-(b-a))^n=\sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k(b-a)^k(b+a)^{n-k}$$
$$=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_n^{2k}(b-a)^{2k}(b+a)^{n-2k}-\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_n^{2k+1}(b-a)^{2k+1}(b+a)^{n-2k-1}$$


Suy ra

$$\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_n^{2k}(b-a)^{2k}(b+a)^{n-2k}=2^{n-1}(a^n+b^n)$$
$$\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_n^{2k+1}(b-a)^{2k+1}(b+a)^{n-2k-1}=2^{n-1}(b^n-a^n)$$

Vậy $$A^n=2^{n-1}(a^n+b^n)I+2^{n-1}(b^n-a^n)B$$

$$=2^{n-1} \begin{pmatrix} a^n+b^n+(a^n-b^n)\cos 2t & (b^n-a^n)\sin 2t\\ \\ (b^n-a^n)\sin 2t&a^n+b^n+(b^n-a^n)\cos 2t \end{pmatrix}$$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi

https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#4 KaiPotter

KaiPotter

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:Tìm hiểu cái mới, lạ, thú vị :)

Đã gửi 25-02-2018 - 10:28


$=\frac{b-a}{2}B+\frac{a+b}{2}I$

Với $B=\begin{pmatrix} -\cos 2t & \sin 2t\\ \sin 2t & \cos 2t \end{pmatrix}$

$B^{2}=I$ $B^{3}=B$

$B^{2k}=I$, $B^{2k+1}=B$ $\forall k\in \mathbb{N}$

 

Em không hiểu lắm về đoạn này, lúc khai triển ra đâu có được $B^{2}=I$ $B^{3}=B$  đâu ạ??



#5 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 572 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 21-04-2018 - 10:43

Em không hiểu lắm về đoạn này, lúc khai triển ra đâu có được $B^{2}=I$ $B^{3}=B$  đâu ạ??

Bạn hãy đặt bút tính đi! Rồi sẽ tự ngộ ra thôi. :D


Võ Văn Đức Hình đã gửi Hình đã gửi




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh