Chủ đề này có 2 trả lời

[anh qua]

Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất sao cho phương trình sau có nghiệm thực :
$x^{12} + 1 = 4x^4\sqrt{x^n + 1}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 12-01-2013 - 22:58

[perfectstrong]

Phải có nghiệm nguyên chứ nhỉ Chứ nghiệm thực thì $n=0$, pt vẫn có nghiệm thực mà
http://www.wolframal...=4x^4 sqrt(1+1)



============
Quả sửa rồi đó, nghiệm thực

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 12-01-2013 - 22:36

[Ispectorgadget]

Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất sao cho phương trình sau có nghiệm thực :
$x^{12} + 1 = 4x^4\sqrt{x^n + 1}$.

Điều kiện: $x^n+1 \ge 0$
Dễ thấy:
$x=-1$ không là nghiệm của phương trình
Khi $n$ chẵn: Nếu $x_0$ là nghiệm của phương trình thì $-x_0$ cũng là nghiệm.

Khi $n$ lẻ: Phương trình có nghĩa khi $x \ge -1.$
Vì vậy ta chỉ xét với $x > -1.$
Với $x > 1$. Ta có: $x^4+1 > 2x^2$
và $x^8+x^4+1=x^4(x^4+1)+1 > 2x^2.\sqrt{x^4+1}$
Suy ra
$(x^4+1)(x^8+x^4+1) > 4x^4.\sqrt{x^4+1} \iff x^{12}+1 > 4x^4.\sqrt{x^4+1}$
Do vậy, với $n=4$ thì phương trình đã cho vô nghiệm và do $x > -1$ nên với $n < 4$, phương trình đã cho cũng vô nghiệm.

Ta xét $n=5$.

Xét hàm $f(x)=x^{12}+1-4x^4.\sqrt{x^5+1}$

Ta có: $f(-1)> 0$

Với $x=1$ ta có: $f(1)<0$

Do đó $f(1).f(-1) < 0$ mà $f(x)$ lại liên tục trên $(-1;{+\infty})$ nên phương trình $f(x)=0$ có nghiệm thuộc $(-1;1).$

Vậy giá trị cần tìm là $n=5.$

Không biết vậy đúng không