Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenhd0709]

$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{3}}{e^{x}}dx$

[phudinhgioihan]

$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{3}}{e^{x}}dx$

Cái tội không chịu lên lớp nên giải thế này

Người xưa có : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{e^{\frac{x}{2}}}=0 $

do đó, tồn tại $x_0 >0$ đủ lớn sao cho $x^3<e^{\frac{x}{2}} \;\;, \forall x \ge x_0 $

$$\int_0^{+\infty} \dfrac{x^3}{e^x}dx=\int_0^{x_0} \dfrac{x^3}{e^x}dx+\int_{x_0}^{+\infty} \dfrac{x^3}{e^x}dx$$

Ta có: $$0< \dfrac{x^3}{e^x} \le \dfrac{1}{e^{\frac{x}{2}}} \;\;, \forall x \ge x_0 $$

$$\int_{x_0}^{+\infty}\dfrac{1}{e^{\frac{x}{2}}}dx=2 \int_{x_0}^{+\infty} \dfrac{d(e^{\frac{x}{2}})}{e^x}$$

$$=\dfrac{2}{e^{\frac{x_0}{2}}}$$

Do đó $\int_{x_0}^{+\infty} \dfrac{x^3}{e^x}dx $ hội tụ

Vậy $\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{3}}{e^{x}}dx$ hội tụ.

[letrongvan]

$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{3}}{e^{x}}dx$

tách thành 2 tích phân cận từ 0-->1 và 1 tới vô cùng, xét cái từ 1 đến vô cùng thì dùng bất đẳng thức $a^{x}>x^{n}$ với n đủ lớn, rồi dùng tiêu chuẩn so sánh là ok, vì đây là tích phân hàm không âm