Chủ đề này có 9 trả lời

[Forgive Yourself]

a) Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=1$. CMR: $\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3$
b) Cho $x+y+z=0$. CMR: $\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}>4$

[Math Is Love]

a) Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=1$. CMR: $\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3$
b) Cho $x+y+z=0$. CMR: $\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}>4$

Chém thử câu a xem sao:
BĐT tương đương:
$$\sum\frac{\sum a^2}{b^2+c^2} \leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{ab^2+ac^2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$$
Áp dụng BĐT $AM-GM$,ta có:
$ab^2+ac^2\geq 2abc$
Thiết lập các BĐT tương tự,ta có:
$$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{ab^2+ac^2}\leq \sum \frac{a^3}{2abc}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$$
Vậy $\rightarrow$ BĐT được chứng minh.
Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 14-01-2013 - 19:14

[no matter what]

Chém thử câu a xem sao:
BĐT tương đương:
$$\sum\frac{\sum a^2}{b^2+c^2} \leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$$
Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt3}$

Diễn đàn check lại tên box
Trình ngắn cũng xin làm lại đoạn cuối(dĩ nhiên là cchs trên đúng rồi)
Áp dụng trực tiếp AM-GM cho mẫu thì sao nhỉ $VT= \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\leq \sum \frac{a^2}{2bc}= \frac{\sum a^3}{2abc}= VP$
Bài này khá lỏng ở chỗ đánh giá này không làm đổi dấu,mấu chốt để giải bài này chỉ là dựa vào ĐK để biến đổi cho ra thế thôi

[Math Is Love]

a) Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=1$. CMR: $\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3$
b) Cho $x+y+z=0$. CMR: $\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}>4$

Chém nốt câu b nào! Chiều nay giờ ra chơi vừa làm xong=))
Ta có hằng đẳng thức sau:
$$(a+b+c)^3=\sum a^3+3\prod (a+b)$$
Vậy ta có:
$$\sum x^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)$$
Vì $x+y+z=0$ nên
$$\sum x^3=-3(x+y)(y+z)(z+x)=3xyz$$
$$\Rightarrow (\sum x^3)^2=9x^2y^2z^2$$
Theo nguyên lí $Đi-rich-lê$,trong ba số $x;y;z$ tồn tại hai số cùng dấu.
Không mất tính tổng quát,giả sử $xy\geq 0$
$$\Rightarrow (\sum x^3)^2=9x^2y^2z^2=9x^2.y^2.(x+y)^2$$
Áp dụng BĐT $AM-GM$,ta có:
$$x^2y^2\leq (\frac{(x+y)^2}{4})^2$$
$$\Rightarrow 9\sum x^3\leq \frac{9(x+y)^6}{16}$$ $(1)$
Mặt khác,áp dụng BĐT $AM-GM$,ta có:
$$\sum x^2=x^2+y^2+(x+y)^2\geq \frac{(2x+2y)^2}{3}=\frac{4(x+y)^2}{3}$$
$$\Rightarrow (\sum x^2)^3\geq \frac{64(x+y)^6}{27}$$ $(2)$
Từ $(1)(2)$,ta có:
$$\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}\geq \frac{\frac{64(x+y)^6}{27}}{\frac{9(x+y)^6}{16}}=(\frac{4}{3})^5>4$$
Vậy ta có $Q.E.D$

[Forgive Yourself]

Chém nốt câu b nào! Chiều nay giờ ra chơi vừa làm xong=))
Ta có hằng đẳng thức sau:
$$(a+b+c)^3=\sum a^3+3\prod (a+b)$$
Vậy ta có:
$$\sum x^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)$$
Vì $x+y+z=0$ nên
$$\sum x^3=-3(x+y)(y+z)(z+x)=3xyz$$
$$\Rightarrow (\sum x^3)^2=9x^2y^2z^2$$
Theo nguyên lí $Đi-rich-lê$,trong ba số $x;y;z$ tồn tại hai số cùng dấu.
Không mất tính tổng quát,giả sử $xy\geq 0$
$$\Rightarrow (\sum x^3)^2=9x^2y^2z^2=9x^2.y^2.(x+y)^2$$
Áp dụng BĐT $AM-GM$,ta có:
$$x^2y^2\leq (\frac{(x+y)^2}{4})^2$$
$$\Rightarrow 9\sum x^3\leq \frac{9(x+y)^6}{16}$$ $(1)$
Mặt khác,áp dụng BĐT $AM-GM$,ta có:
$$\sum x^2=x^2+y^2+(x+y)^2\geq \frac{(2x+2y)^2}{3}=\frac{4(x+y)^2}{3}$$
$$\Rightarrow (\sum x^2)^3\geq \frac{64(x+y)^6}{27}$$ $(2)$
Từ $(1)(2)$,ta có:
$$\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}\geq \frac{\frac{64(x+y)^6}{27}}{\frac{9(x+y)^6}{16}}=(\frac{4}{3})^5>4$$
Vậy ta có $Q.E.D$

Bạn cho mình hỏi tí, mình đang thắc mắc mẫy chỗ này, bạn nói rõ hơn giùm mình với:
1) $$\sum x^2=x^2+y^2+(x+y)^2\geq \frac{(2x+2y)^2}{3}=\frac{4(x+y)^2}{3}$$
2) ($1$) và ($2$) là hai bất đẳng thức trái dấu, sao từ hai cái đó lại suy ra được:
$$\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}\geq \frac{\frac{64(x+y)^6}{27}}{\frac{9(x+y)^6}{16}}=(\frac{4}{3})^5>4$$

[Oral1020]

Bạn cho mình hỏi tí, mình đang thắc mắc mẫy chỗ này, bạn nói rõ hơn giùm mình với:
1) $$\sum x^2=x^2+y^2+(x+y)^2\geq \frac{(2x+2y)^2}{3}=\frac{4(x+y)^2}{3}$$
2) ($1$) và ($2$) là hai bất đẳng thức trái dấu, sao từ hai cái đó lại suy ra được:
$$\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}\geq \frac{\frac{64(x+y)^6}{27}}{\frac{9(x+y)^6}{16}}=(\frac{4}{3})^5>4$$

1)Đó chính là bất đẳng thức $\text{Cauchy-Schwarz}$ cho 3 số $x^2;y^2;(x+y)^2$

[Math Is Love]

Bạn cho mình hỏi tí, mình đang thắc mắc mẫy chỗ này, bạn nói rõ hơn giùm mình với:
1) $$\sum x^2=x^2+y^2+(x+y)^2\geq \frac{(2x+2y)^2}{3}=\frac{4(x+y)^2}{3}$$
2) ($1$) và ($2$) là hai bất đẳng thức trái dấu, sao từ hai cái đó lại suy ra được:
$$\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}\geq \frac{\frac{64(x+y)^6}{27}}{\frac{9(x+y)^6}{16}}=(\frac{4}{3})^5>4$$

1) Ở đây thực ra là mình dùng BĐT $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$
Thực ra trong TH này,bạn có thể dùng BĐT $2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$ thì ta sẽ được BĐT mạnh hơn nhưng mình làm vậy để kết quả ra cho nó đẹp=))
2) Bạn chú ý là 2 cái ngược dấu nhau nhưng 1 cái ở tử,một cái ở mẫu mà!

Theo như bạn nói nếu $a\geq b,c\leq d$ thì ta có $\frac{a}{c}\geq \frac{b}{d}$ ?????

Cho mình hỏi,bạn học lớp mấy thế! Cái này luôn đúng với mọi $a,b,c,d>0$ mà! Cái này học sinh Tiểu học cũng biết,nói thật!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 19-01-2013 - 18:28

[Forgive Yourself]

1) Ở đây thực ra là mình dùng BĐT $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$
Thực ra trong TH này,bạn có thể dùng BĐT $2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$ thì ta sẽ được BĐT mạnh hơn nhưng mình làm vậy để kết quả ra cho nó đẹp=))
2) Bạn chú ý là 2 cái ngược dấu nhau nhưng 1 cái ở tử,một cái ở mẫu mà!

Theo như bạn nói nếu $a\geq b,c\leq d$ thì ta có $\frac{a}{c}\geq \frac{b}{d}$ ?????

[nthoangcute]

b) Cho $x+y+z=0$. CMR: $\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}>4$

Câu này dễ nhất:
$$\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}-6=\dfrac{8}{9}\dfrac{(x^2+xy+y^2)^3}{x^2y^2(x+y)^2}-6=\dfrac{2}{9} \dfrac{(x-y)^2(2y+x)^2(2x+y)^2}{x^2y^2(x+y)^2}$$
OK?

[Forgive Yourself]

Câu này dễ nhất:
$$\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}-6=\dfrac{8}{9}\dfrac{(x^2+xy+y^2)^3}{x^2y^2(x+y)^2}-6=\dfrac{2}{9} \dfrac{(x-y)^2(2y+x)^2(2x+y)^2}{x^2y^2(x+y)^2}$$
OK?

Chị ơi, chị có thể làm rõ hơn tí nữa được không ạ?