Chủ đề này có 2 trả lời

[Unknown98]

Tìm GTNN của $A=\sqrt{1+a^{4}} +\sqrt{1+b^{4}}$ với (1+a)(1+b)=$\frac{9}{4}$

[triethuynhmath]

Tìm GTNN của $A=\sqrt{1+a^{4}} +\sqrt{1+b^{4}}$ với (1+a)(1+b)=$\frac{9}{4}$

Mình nghĩ bài này nên cho $a,b \geq 0$ chứ nhỉ :-?Áp dụng Bunyakovsky,ta có: $A\sqrt{5}=\sqrt{5(a^4+1)}+\sqrt{5(b^4+1)}=\sqrt{(1^2+2^2)(a^4+1)}+\sqrt{(2^2+1^2)(b^4+1)}\geq a^2+2+b^2+2\geq \frac{(a+b)^2}{2}+4$
Mặt khác: $\frac{9}{4}=(1+a)(1+b)\leq \frac{(2+a+b)^2}{4}\Rightarrow (a+b+2)^2\geq 9\Rightarrow (a+b+2)\geq 3\Rightarrow a+b \geq 1\Rightarrow a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}$
Kết hợp với trên ta tìm được Min của biểu thức

[Math Is Love]

Tìm GTNN của $A=\sqrt{1+a^{4}} +\sqrt{1+b^{4}}$ với (1+a)(1+b)=$\frac{9}{4}$

Mình có cách khác đơn thuần $AM-GM$
Ta dự đoán dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$.Vậy ta sẽ tách hợp lý!
Ta có:
$$A=\sqrt{1+a^{4}} +\sqrt{1+b^{4}}=\sum \sqrt{(a^4+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16})+\frac{13}{16}}$$
$$\Rightarrow A\geq \sum \sqrt{\frac{a}{2}+\frac{13}{16}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum \sqrt{(a+1)+\frac{5}{8}}$$
Áp dụng BĐT $AM-GM$,ta có:
$$\Rightarrow A\geq \frac{1}{\sqrt{2}}\sum \sqrt{(a+1)+\frac{5}{8}}\geq \frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt{\sqrt{(a+1)+\frac{5}{8}}.\sqrt{(b+1)+\frac{5}{8}}}$$
$$\geq \frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt[4]{(a+1)(b+1)+\frac{5(a+1+b+1)}{8}+\frac{25}{64}}$$
$\geq \frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt[4]{\frac{9}{4}+\frac{5\sqrt{(a+1)(b+1)}}{4}+\frac{25}{64}}\geq \frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt[4]{\frac{9}{4}+\frac{15}{2}+\frac{25}{64}}=$
Hình như tớ tính nhầm=)). Kết quả sẽ ra $\frac{\sqrt{17}}{2}$ nhưng cách làm thì y hệt=))