Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi olympic toán Trung quốc 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
bachocdien

bachocdien

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 62 Bài viết
Câu 1: Cho 2 đường tròn $K_{1}$ và $K_{2}$ bán kính khác nhau cắt nhau tại 2 điểm $A$ và $B$, cho $C$, $D$ là 2 điểm trên $K_{1}$, $K_{2}$ tương ứng, sao cho $A$ là trung điểm $CD$. Kéo dài $DB$ cắt $K_{1}$ tại $E$, kéo dài $CB$ cắt $K_{2}$ tại $F$. Cho $l_{1}$,$l_{2}$ tương ứng là trung trực của $CD$ và $EF$.
  • Chứng minh $l_{1}$,$l_{2}$ có 1 điểm chung $P$
  • Chứng minh $CA$, $AP$ và $PE$ có độ dài của 3 cạnh 1 tam giác vuông
Câu 2: Tìm tất cả các tập không rỗng $S$ nguyên sao cho $3m-2n\in S$, $\forall m,n\in S$

Câu 3: Tìm tất cả các số thực dương $t$ thỏa mãn: tồn tai 1 tập $X$ thực vô hạn sao cho:
$max\left \{ \mid x-(a-d)\mid ,\mid y-a\mid,\mid z-(a+d)\mid\right \}> td$,$\forall x,y,z\in X$, $a,d\in R,d> 0$

Câu 4: Cho $n\geq 2$, có 1 tập hữu hạn $A_{1}, A_{2},...,A_{n}$ sao cho với $i,j\in \left \{ 1,2,...,n \right \},\left | A_{i}\Delta A_{j} \right |=\left | i-j \right |$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\sum_{i=1}^{n}\left | A_{i} \right |$

Câu 5: Cho số nguyên dương $n,0\leq i\leq n$ biểu diễn $ C_n^i\equiv c(n,i)(\bmod 2) $, ở đây $c(n,i)\in\left \{ 0,1 \right \}$, $f\left ( n,q \right )=\sum_{i=0}^{n}c\left ( n,i \right )q^{i}$. $m,n,q$ nguyên dương và $q+1\neq 2^{\alpha }$,$\forall \alpha\in N$.Chứng minh: $f(m,q)\mid f(n,q)$ thì $f(m,r)\mid f(n,r)$ với r nguyên dương.

Câu 6: $m,n$ là các số nguyên dương, tìm số nguyên dương $N$ nhỏ nhất thỏa mãn: nếu S là 1 tập các số nguyên dương chứa 1 hệ thặng dư đầy đủ mod $m$ và $\left | S \right |=N$ thì tồn tại 1 tập không rỗng $A\subseteq S$ mà $n\mid \sum_{x\in A}x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachocdien: 19-01-2013 - 19:56


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Ngày 3 - 21/12/2013

Câu 1. Cho tam giác $ABC$ có $AB >AC$, đường phân giác trong $AD$. Lấy $E,F$ lần lượt trên $AC,AB$ sao cho itứ giác $BCFE$ nội tiếp. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $BE+CF=BC$

 

Câu 2. Đặt

$$ D(n)=\{ a-b\mid ab=n, a>b>0, a,b\in\mathbb{N}\} $$

Chứng minh rằng với mọi $k$, luôn tồn tại các bộ số nguyên dương phân biệt $n_1,n_2,...,n_k$ sao cho

$$ |D(n_1)\cap D(n_2)\cap\cdots\cap D(n_k)|\geq 2 $$

 

Câu 3. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một hàm số $f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

$i) f(1) = f(2) = 1$;
$ii) f(n) = f(f(n-1)) +f(n-f(n-1)), \forall n \geq 3$.
Với mỗi số nguyên $m \geq 2$ hãy tính $f(2^m)$.

 

 
Ngày 4 - 22/12/2013

Câu 1. Giải sử $ n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_t^{a_t} $ là dạng phân tích tiêu chuẩn của $n$. Đặt $ \omega(n)=t $ và $ \Omega(n)=a_1+a_2+\ldots+a_t $. Chứng minh hoặc bác bỏ mệnh đề sau:

Với bất kì số nguyên dương cho trước $k$ và các số thực $\alpha, \beta$, luôn tồn tại một số nguyên dương $n > 1$ sao cho:

$1)  \frac{\omega(n+k)}{\omega(n)}>\alpha $

$2) \frac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}<\beta $

 

Câu 2. Cho hàm số: $f: X \to X$, với $ X=\{1,2,\ldots ,100\} $, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

$1) f(x) \neq x, \forall x \in X$;

$2)$ Với mọi tập con $A$ của $X$ thỏa mãn $|A|=40$, ta luôn có: $ A\cap f(A)\neq\emptyset $

 

Câu 3.  Kí hiệu $ S+T=\{s+t|s\in S, t\in T\} $ và $ 2R=\{2r|r\in R\} $. Gọi $A,B$ là hai tập hợp $ \{1,2\ldots,n\} $. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tập hợp $D$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

$1)  D+D\in 2(A+B) $

$2) |D|\geq\frac{|A\parallel B|}{2n} $

 

 

Dịch từ: AoPS


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh