Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi olympic toán Trung quốc 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 bachocdien

bachocdien

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Mathematics, physics, english, and traveling

Đã gửi 16-01-2013 - 13:43

Câu 1: Cho 2 đường tròn $K_{1}$ và $K_{2}$ bán kính khác nhau cắt nhau tại 2 điểm $A$ và $B$, cho $C$, $D$ là 2 điểm trên $K_{1}$, $K_{2}$ tương ứng, sao cho $A$ là trung điểm $CD$. Kéo dài $DB$ cắt $K_{1}$ tại $E$, kéo dài $CB$ cắt $K_{2}$ tại $F$. Cho $l_{1}$,$l_{2}$ tương ứng là trung trực của $CD$ và $EF$.
  • Chứng minh $l_{1}$,$l_{2}$ có 1 điểm chung $P$
  • Chứng minh $CA$, $AP$ và $PE$ có độ dài của 3 cạnh 1 tam giác vuông
Câu 2: Tìm tất cả các tập không rỗng $S$ nguyên sao cho $3m-2n\in S$, $\forall m,n\in S$

Câu 3: Tìm tất cả các số thực dương $t$ thỏa mãn: tồn tai 1 tập $X$ thực vô hạn sao cho:
$max\left \{ \mid x-(a-d)\mid ,\mid y-a\mid,\mid z-(a+d)\mid\right \}> td$,$\forall x,y,z\in X$, $a,d\in R,d> 0$

Câu 4: Cho $n\geq 2$, có 1 tập hữu hạn $A_{1}, A_{2},...,A_{n}$ sao cho với $i,j\in \left \{ 1,2,...,n \right \},\left | A_{i}\Delta A_{j} \right |=\left | i-j \right |$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\sum_{i=1}^{n}\left | A_{i} \right |$

Câu 5: Cho số nguyên dương $n,0\leq i\leq n$ biểu diễn $ C_n^i\equiv c(n,i)(\bmod 2) $, ở đây $c(n,i)\in\left \{ 0,1 \right \}$, $f\left ( n,q \right )=\sum_{i=0}^{n}c\left ( n,i \right )q^{i}$. $m,n,q$ nguyên dương và $q+1\neq 2^{\alpha }$,$\forall \alpha\in N$.Chứng minh: $f(m,q)\mid f(n,q)$ thì $f(m,r)\mid f(n,r)$ với r nguyên dương.

Câu 6: $m,n$ là các số nguyên dương, tìm số nguyên dương $N$ nhỏ nhất thỏa mãn: nếu S là 1 tập các số nguyên dương chứa 1 hệ thặng dư đầy đủ mod $m$ và $\left | S \right |=N$ thì tồn tại 1 tập không rỗng $A\subseteq S$ mà $n\mid \sum_{x\in A}x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachocdien: 19-01-2013 - 19:56


#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 31-12-2013 - 16:46

Ngày 3 - 21/12/2013

Câu 1. Cho tam giác $ABC$ có $AB >AC$, đường phân giác trong $AD$. Lấy $E,F$ lần lượt trên $AC,AB$ sao cho itứ giác $BCFE$ nội tiếp. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $BE+CF=BC$

 

Câu 2. Đặt

$$ D(n)=\{ a-b\mid ab=n, a>b>0, a,b\in\mathbb{N}\} $$

Chứng minh rằng với mọi $k$, luôn tồn tại các bộ số nguyên dương phân biệt $n_1,n_2,...,n_k$ sao cho

$$ |D(n_1)\cap D(n_2)\cap\cdots\cap D(n_k)|\geq 2 $$

 

Câu 3. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một hàm số $f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

$i) f(1) = f(2) = 1$;
$ii) f(n) = f(f(n-1)) +f(n-f(n-1)), \forall n \geq 3$.
Với mỗi số nguyên $m \geq 2$ hãy tính $f(2^m)$.

 

 
Ngày 4 - 22/12/2013

Câu 1. Giải sử $ n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_t^{a_t} $ là dạng phân tích tiêu chuẩn của $n$. Đặt $ \omega(n)=t $ và $ \Omega(n)=a_1+a_2+\ldots+a_t $. Chứng minh hoặc bác bỏ mệnh đề sau:

Với bất kì số nguyên dương cho trước $k$ và các số thực $\alpha, \beta$, luôn tồn tại một số nguyên dương $n > 1$ sao cho:

$1)  \frac{\omega(n+k)}{\omega(n)}>\alpha $

$2) \frac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}<\beta $

 

Câu 2. Cho hàm số: $f: X \to X$, với $ X=\{1,2,\ldots ,100\} $, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

$1) f(x) \neq x, \forall x \in X$;

$2)$ Với mọi tập con $A$ của $X$ thỏa mãn $|A|=40$, ta luôn có: $ A\cap f(A)\neq\emptyset $

 

Câu 3.  Kí hiệu $ S+T=\{s+t|s\in S, t\in T\} $ và $ 2R=\{2r|r\in R\} $. Gọi $A,B$ là hai tập hợp $ \{1,2\ldots,n\} $. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tập hợp $D$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

$1)  D+D\in 2(A+B) $

$2) |D|\geq\frac{|A\parallel B|}{2n} $

 

 

Dịch từ: AoPS


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh