Chủ đề này có 5 trả lời

[bachocdien]

Câu 1: Isaac đặt một số quân cờ lên trên 1 bàn cờ $8\times 8$ sao cho có nhiều nhất 1 quân cờ trong mỗi ô. Hãy xác định số lượng cờ lớn nhất mà anh đặt được sao cho có nhiều nhất 4 quân trên cùng 1 hàng, 1 cột hoặc 1 đường chéo.

Câu 2: Cho 2 đường tròn $S$ và $T$ tiếp xúc nhau tại $X$. Có 1 tiếp tuyến chung tiếp xúc $S$ tại $A$ và $T$ tại $B$( $A$ khác $B$). Kẻ đường kính $AP$ của $S$. CM: $B,X$ và $P$ thẳng hàng.

Câu 3:Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} x^{2}-4y+7=0\\ y^{2}-6z+14=0\\ z^{2}-2x-7=0 \end{matrix}\right.$

Câu 4: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $12n-119$ và $75n-539$ là những số chính phương

Câu 5: 1 tam giác có chiều dài các cạnh tương ứng lớn nhất có thể là 2,3 và 4. Tính diện tích khả dĩ lớn nhất của tam giác.

Câu 6: Cho tam giác $ABC$. Cho đường tròn $S$ đi qua $B$ và tiếp xúc với $CA$ tại $A$, đường tròn $T$ đi qua $C$ và tiếp xúc với $AB$ tại $A$. Đường tròn $S$ và $T$ cắt nhau tại $A$ và $D$. $AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $E$, Chứng minh: $D$ là trung điểm $AE$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachocdien: 17-01-2013 - 15:59

[triethuynhmath]

Câu 3:Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} x^{2}-4y+7=0\\ y^{2}-6z+14=0\\ z^{2}-2x-7=0 \end{matrix}\right.$

Cho mình hỏi $BMO$ là gì vậy bạn????
Câu này chắc dễ nhất đề.
Cộng theo vế ba phương trình của hệ ta được: $x^2-2x+y^2-4y+z^2-6z+14=0\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=0\Leftrightarrow x=1,y=2,z=3$
XOng nhớ thử lại nghiệm.

[triethuynhmath]

Câu 2: Cho 2 đường tròn $S$ và $T$ tiếp xúc nhau tại $X$. Có 1 tiếp tuyến chung tiếp xúc $S$ tại $A$ và $T$ tại $B$( $A$ khác $B$). Kẻ đường kính $AP$ của $S$. CM: $B,X$ và $P$ thẳng hàng.

Câu này chẳng qua cũng chỉ là chứng minh $\angle AXB=90^0$
Có thể chứng minh rất đơn giản bằng cách kẻ tiếp tuyến chung tại $X$ rồi chứng minh $X$ thuộc đường tròn đường kính $AB$.
Mà $\angle AXP=90^0$ nên ta có đpcm

[bachocdien]

BMO :olympic toán của Anh. vòng này tương ứng ngày 1 của mình ấy. sau khi thi vòng này, sẽ có vòng 2 khó hơn, chọn đội dự tuyển IMO của họ. Sau đó cả đội sẽ tập huấn ở Trinity College, Cambridge( theo như mình dịch từ đề của họ)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachocdien: 17-01-2013 - 15:20

[triethuynhmath]

Câu 6: Cho tam giác $ABC$. Cho đường tròn $S$ đi qua $B$ và tiếp xúc với $CA$ tại $A$, đường tròn $T$ đi qua $C$ và tiếp xúc với $AB$ tại $A$. Đường tròn $S$ và $T$ cắt nhau tại $A$ và $D$. $AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $E$, Chứng minh: $D$ là trung điểm $AE$.

Câu này cũng thuộc loại khá đơn giản.
Từ giả thiết ta suy ra : $\Delta ABD$ đồng dạng $\Delta CAD(gg)\Rightarrow AD^2=BD.CD$
Ngoài ra ta cũng có: $\angle ACD=\angle BAE=\angle BCE$ nên: $\angle DCE=\angle ACB=\angle DEB$. Và: $\angle BDE=\angle EDC\Rightarrow \Delta EDB$ đồng dạng $\Delta CDE$ nên: $DE^2=DB.DC=DA^2$ Đã xong .
P/s: Theo mình thì câu này nếu như đề là chứng minh $ABCE$ là tứ giác điều hòa thì sẽ tung hỏa mù hơn chứ nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 17-01-2013 - 15:20

[nthoangcute]

Câu 4: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $12n-119$ và $75n-539$ là những số chính phương

Dễ không kém.
Đặt $12n-119=a^2$ và $75n-539=b^2$
Suy ra $(2b-5a)(2b+5a)=819$
Suy ra $\{a = -27, b = -69\}, \{a = -27, b = 69\}, \{a = -11, b = -31\}, \{a = -11, b = 31\}, \{a = -5, b = -19\}, \{a = -5, b = 19\}, \{a = 5, b = -19\}, \{a = 5, b = 19\}, \{a = 11, b = -31\}, \{a = 11, b = 31\}, \{a = 27, b = -69\}, \{a = 27, b = 69\}$
Từ đó ta tìm được $n=20$ hoặc $n=12$