Chủ đề này có 41 trả lời

[junggisung98]

ko pit có đúng ko?
giải: Ta có: $\left\{\begin{matrix} x^{3}=6\left ( y+1 \right ) & & \\ y^{3}=6\left ( x+1 \right ) & & \end{matrix}\right.$
<=>$\left\{\begin{matrix} x^{3}-6\left ( y+1 \right )=0(1) & & \\ y^{3}-6\left ( x+1 \right )=0(2) & & \end{matrix}\right.$

Lấy (1) trừ (2) ta có: x³-y³+6(x-y)=0
<=> (x-y)(x²+xy+y²)+6(x-y)=0
<=> (x-y)(x²+xy+y²+6)=0
=> x-y=0 ( Vì x²+xy+y²+6$>$0)
<=> x=y
Thay x=y vào ptr (1) ta có : x³-6(x+1)=0
Giải ptr trên ta tìm đc x,y
Hình như em làm sai thi phải mọi người xem rùi góp ý em cái

Bài làm làm sau thời hạn nộp bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 19:12
Chấm bài

[anbvippro1998]

Lấy phương trình (1) trừ (2), vế theo vế, ta được:
x³-y³=6(y+1)-6(x+1)
=> (x-y)(x²+xy+y²)=6(y-x)
=> (x-y)(x²+xy+y²+6)=0
TH1: x=y => x³=6(y+1)=6(x+1)
=> x³-6x-6=0. Giải phương trình ta được nghiệm : x=y=2,847322102
TH2: x²+xy+y²+6=0
=> (x+y/2)²+(3/4y ²)+6=0 => phương trình vô nghiệm
Vậy hệ có 1 nghiệm x=y=2,847322102

Bài làm làm sau thời hạn nộp bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 19:13
Chấm bài

[hxthanh]

Update!
Đáp án chính thức:

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
x^3=6(y+1)\\
y^3=6(x+1)
\end{matrix}\right.$$

Lời giải:
Lấy 2 phương trình trừ cho nhau: $x^3-y^3=6(y-x)$
$\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)+6(x-y)=0$
$\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2+6)=0\; (1)$.
Lại có: $x^2+xy+y^2+6=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}+6\geq 6 >0\; (2)$.
Từ $(1),(2) \Rightarrow x=y$
Thay vào phương trình đầu: $x^3=6x+6$
$\Leftrightarrow x^3-6x-6=0\; (*)$.
Nhận thấy $x=0$ không phải là nghiệm của phương trình.
Với $x \neq 0$, đặt $x=a+\frac{2}{a}$ (với $a \neq 0$).
Khi đó: $(*) \Leftrightarrow (a+\frac{2}{a})^3-6(a+\frac{2}{a})-6=0$
$\Leftrightarrow a^3+\frac{8}{a^3}+3a\frac{2}{a}(a+\frac{2}{a})-6(a+\frac{2}{a})-6=0$
$\Leftrightarrow a^3+\frac{8}{a^3}-6=0$
$\Leftrightarrow a^6-6a^3+8=0$ (vì $a \neq 0$)
$\Leftrightarrow (a^3-2)(a^3-4)=0$
$\Leftrightarrow a=\sqrt[3]{2}$ hoặc $a=\sqrt[3]{4}$.
Với $a=\sqrt[3]{2}$ thì $x=a+\frac{2}{a}=\sqrt[3]{2}+\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$.
Với $a=\sqrt[3]{4}$ thì $x=a+\frac{2}{a}=\sqrt[3]{4}+\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$.
Suy ra $x=y=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$.
Kết luận: Vậy $(x;y)=(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4};\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})$.

[Tru09]

Cho mình nhận xét tí
Mấy bài làm sử dụng phương pháp cácđanô hình như mới chỉ tính ra 1 nghiệm (cũng may mà bài toán có 2 nghiệm còn lại loại ) , theo mình nên phân tích kỹ càng hơn .
-Mà tiện thể hỏi luôn , phương pháp cácđanô có công thức 2 nghiệm còn lại không (để đỡ phải phân tích thành nhân tử ) ??? :-?

[Primary]

Cho mình nhận xét tí
Mấy bài làm sử dụng phương pháp cácđanô hình như mới chỉ tính ra 1 nghiệm (cũng may mà bài toán có 2 nghiệm còn lại loại ) , theo mình nên phân tích kỹ càng hơn .
-Mà tiện thể hỏi luôn , phương pháp cácđanô có công thức 2 nghiệm còn lại không (để đỡ phải phân tích thành nhân tử ) ??? :-?

Trong toán học còn ở THPT hoặc THCS thì không được sử dụng Cardano, muốn sử dụng phải chứng minh hoặc giải phương trình theo cách đó. Còn nghiệm còn lại thì xem ở đây: http://vi.wikipedia....ng_trình_bậc_ba

[mathnam]

nhân đây xin bnn daovuquang hướng dẫn cách đặt ẩn phụ khi giải pt như trên nha

[NLT]

Laser Angry Bird học lớp mình đó mọi người, sao lại nhảy vào đây thi MSS nhỉ ? BTC xem lại giúp em :-S
___
NLT

[BlackSelena]

Với đáp án của BTC thì có cần chứng minh cách đặt $ x= a + \dfrac{2}{a}$ là tồn tại ko nhỷ ?
Bởi trong quá trình suy nghĩ mình có cách làm sau

Đặt $x=\sqrt{2}(y+\frac{1}{y}) (y \neq 0)$
Thay vào phương trình ta có:
$2\sqrt{2}(y^3+\frac{1}{y^3}+3(y+\frac{1}{y}))-6\sqrt{2}(y+\frac{1}{y})-6=0\Leftrightarrow 2\sqrt{2}(y^3+\frac{1}{y^3})+(y+\frac{1}{y})(6\sqrt{2}-6\sqrt{2})-6=0\Leftrightarrow y^3+\frac{1}{y^3}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow y^6-\frac{3\sqrt{2}}{2}y^3+1=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y^3=\sqrt{2} \\ y^3=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\Leftrightarrow y_{1}=\sqrt[6]{2},y_{2}=\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$
Vậy đem thay vào: $x=\sqrt{2}(y+\frac{1}{y})$. Ta được: $x=\sqrt{2}(\sqrt[6]{2}+\frac{1}{\sqrt[6]{2}})$( Thế cả 2 giá trị $y_{1}=\sqrt{2},y_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ vào đều ra được 1 nghiệm $x_{1}=x_{2}=\sqrt{2}(\sqrt[6]{2}+\frac{1}{\sqrt[6]{2}})$

[daovuquang]

Xin lỗi các bạn vì lời giải của mình có vấn đề. Với $x\leq \sqrt{8}$ thì không tồn tại $a$. Thực ra bài này mình chế từ 1 bài trong NCPT. Có lẽ cách phân tích thành nhân tử vẫn là chuẩn nhất.

[duaconcuachua98]

Công thức nghiệm Cardano là j z mn? Hình như lớp 9 đâu có học nhỷ? Em Nguyen Viet Khanh 6c cũng biết nó nữa!Giỏi quá!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duaconcuachua98: 30-01-2013 - 19:13

[field9298]

Mở rộng chỉ nêu ra thôi chứ ko cần giải à? Mà mở rộng là làm như thế nào vậy mọi người

[tramyvodoi]

Công thức nghiệm Cardano là j z mn? Hình như lớp 9 đâu có học nhỷ? Em Nguyen Viet Khanh 6c cũng biết nó nữa!Giỏi quá!

Ở đây nè em : http://vi.wikipedia.....C3.A1p_Cardano

[Ha Manh Huu]

không mất tính tổng quát giả sử x lớn hơn hoặc =y ta có x^{3} = 6(y+1) > hoặc = y^{3}
y^{3}=6(x+1)> hoặc = 6(y+1)
=> x=y
=> x^{3} -6x-1 =0
giải pt này ta có nghiệm x,y
em mới thâm gia nên không biết viết căn

[caybutbixanh]

không mất tính tổng quát giả sử $x \geq y$
ta có
$ x^{3} = 6(y+1) \geq y^{3}$ $y^{3}=6(x+1)\geq 6(y+1)$
=> $x=y$
=> $x^{3} -6x-1 =0$
giải pt này ta có nghiệm x,y
em mới thâm gia nên không biết viết căn

ANh ơi ,Lỡ $x,y$ trái dấu nhau thì sao ? .

[mathnam]

ANh ơi ,Lỡ $x,y$ trái dấu nhau thì sao ? .

x,y là ẩn mũ 3 mà: $x\geq y\Leftrightarrow x^{2k+1}\geq y^{2k+1}$
với mọi x,y

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathnam: 04-02-2013 - 16:43

[thanhluong]

suy ra x=y, thay vào PT đầu bài, ta có:
$x^3-nx-n=0$
Theo công thức nghiệm Cácđanô, ta có $x=\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}-\frac{n^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{n}{2}-\sqrt{\frac{n^2}{4}-\frac{n^3}{27}}}$
Vậy hệ PT của bài có nghiệm duy nhất là $x=y=\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}-\frac{n^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{n}{2}-\sqrt{\frac{n^2}{4}-\frac{n^3}{27}}}$

Chưa chắc phương trình này có 1 nghiệm, bởi dùng công thức Cacdano ta chỉ tìm được 1 nghiệm của phương trình bậc 3.

[E. Galois]

Đã chấm xong trận 18
insensitive soul tự ý sửa bài làm của mình nên được 0 điểm,
daovuquang bị trừ 20 điểm vào điểm ra đề do giải chưa đúng đề của mình ra

Drd=0*4 + 3*14 + 2*2 + 30 - 20 = 56

Thời gian phúc khảo của các em là 1 ngày

[field9298]

Cách khác:$\left\{\begin{matrix} x^{3}=6(y+1)(1)\\ y^{3}=6(x+1)(2) \end{matrix}\right.$
Xét $x\neq y$
Không mất tính tổng quát, giả sử $x> y$(3)
$(3)\Leftrightarrow x^{3}> y^{3}$(4)
Kết hợp với hệ phương trình ở đề bài ta được:
$(4)\Rightarrow 6(y+1)> 6(x+1)\Rightarrow y+1> x+1\Rightarrow y> x$(trái với (3))
Vậy x=y.Thay vào phương trình (1) ta được:$x^{3}=6(x+1)$
Đến đây giải tương tự cách đầu tiên.
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4};\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})$

Sao phần cách khác của em không được chấm điểm vậy?

[E. Galois]

Cách khác này của em vẫn sai giống cách đầu mà

[Ha Manh Huu]

ANh ơi ,Lỡ $x,y$ trái dấu nhau thì sao ? .

x,y trái dấu có ảnh hưởng j đến mũ 3 đâu nhỉ