Chủ đề này có 16 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h, Thứ Bảy, ngày 19/01/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 18

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ không được tự ý sửa bài của mình vì nếu sửa sẽ bị chấm là 0 điểm.

[E. Galois]

Tính tích phân:
$$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5}dx$$
Đề của chagtraife

[minh29995]

Em xin xoá bài trên. Lấy bài này
$I= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{4cosx-3sinx+1}{4sinx+3cosx+5}dx+\int_0^{\frac{\pi}{2}}dx$

$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{4cosx-3sinx}{4sinx+3cosx+5}dx+ \frac{1}{5}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{cos(x-a)+1}+x|_0^{\frac{\pi}{2}}$ (Với $\left\{\begin{matrix} cosa=\frac{3}{5}\\ sina=\frac{4}{5}\\ a\in [0;\frac{\pi}{2}] \end{matrix}\right.$ )
$I=ln(4sinx+3cosx+5)|_0^{\frac{\pi}{2}}+\frac{\pi}{2}+\frac{1}{10}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{cos^2(\frac{x-a}{2})}$
$I= ln\frac{9}{8}+\frac{\pi}{2}+\frac{1}{5}tan(\frac{x-a}{2})|_0^{\frac{\pi}{2}}$
$I=ln\frac{9}{8}+\frac{\pi}{2}+\frac{1}{5}tan(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2})-\frac{1}{5}tan\frac{-a}{2}$
$I=ln\frac{9}{8}+\frac{\pi}{2}+\frac{1}{6}$

KL:
$I=ln\frac{9}{8}+\frac{\pi}{2}+\frac{1}{6}$

Bài giải ngắn gọn, rõ ràng mạch lạc
Điểm bài 10
S = 26 + 10*3 = 56

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 06-02-2013 - 19:53
Chấm bài

[hoangkkk]

Tính tích phân:
$$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5}dx$$
Đề của chagtraife

Ta có :
$$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5}dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left ( \frac{4\sin x+\cos x+5}{4\sin x+\cos x+5}+\frac{4\cos x-3\sin x}{4\sin x+\cos x+5}+\frac{1}{4\sin x+\cos x+5} \right )dx$$
$$=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\left ( 4\sin x+3\cos x+5 \right )}{4\sin x+3\cos x+5}+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$$
$$={\left.\begin{matrix}
\left ( x+\ln \left | 4\sin x+3\cos x+5 \right | \right )
\end{matrix}\right|_{0}}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$$
$$=\frac {\pi}{2}+\ln 9-\ln 8+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$$
Đặt $J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$, ta có :
$$J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{8\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}+3\left ( \cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2} \right )+5\left ( \cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2} \right )}$$
$$=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{8\cos^2 \frac{x}{2}+8\cos^2 \frac{x}{2}+2\cos^2 \frac{x}{2}\tan^2 \frac{x}{2}}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{2}\left (2 \tan^2 \frac{x}{2}+8\tan \frac{x}{2}+8 \right )}$$
Dòng trên có Nhầm lẫn
$$=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\left ( \tan \frac{x}{2} \right )}{\tan^2 \frac{x}{2}+4\tan \frac{x}{2}+4}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\left ( \tan \frac{x}{2}+2 \right )}{\left ( \tan \frac{x}{2}+2 \right )^2}={\left.\begin{matrix}
\left ( \frac{-1}{\tan \frac{x}{2}+2} \right )
\end{matrix}\right|_{0}}^\frac{\pi}{2}=\frac{1}{6}$$
Như vậy $I=\frac {\pi}{2}+\ln 9-\ln 8+\frac {1}{6}$

Chỗ nhầm lẫn ở trên đáng ra phải là
$J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{8\cos^2 \frac{x}{2}+2\sin^2 \frac{x}{2}+8\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}}$

Điểm bài: 8
S = 25 + 3*8 + 10= 59

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 06-02-2013 - 23:08
Chấm bài

[Primary]

Tính tích phân:
$$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5}dx$$
Đề của chagtraife

*Ta có: $sinx+7cosx+6=(4sinx+3cosx+5)+(4cosx-3sinx)+1$ $\Leftrightarrow \frac{sinx+7cosx+6}{4sinx+3cosx+5}=1+\frac{4cosx-3sinx}{4sinx+3cosx+5}+\frac{1}{4sinx+3cosx+5}$
Suy ra $I=\frac{\pi }{2}+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{4cosx-3sinx}{4sinx+3cosx+5}dx+J$ với $J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{4sinx+3cosx+5}$
*Tính $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{4cosx-3sinx}{4sinx+3cosx+5}dx=\left [ ln|4sinx+3cosx+5| \right ]_0^\frac{\pi }{2}=ln\frac{9}{8}$
*Tính $J$
Đồi biến số: $u=tan\frac{x}{2}\Rightarrow du=\frac{1}{2}.(1+tan^2\frac{x}{2})dx$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow u=0;x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow u=1$
$\Rightarrow J=\int_{0}^{1}\frac{\frac{2}{1+u^2}du}{\frac{8u}{1+u^2}+\frac{3(1-u^2)}{1+u^2}+5}$ $=\int_{0}^{1}\frac{du}{(u+2)^2}=-\left [ \frac{1}{u+2} \right ]_0^1=\frac{1}{6}$
*Vậy $I=\frac{1}{6}+\frac{\pi }{2}+ln\frac{9}{8}$


Điểm bài: 10
S = 25 + 10*3 + 8 = 63

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 06-02-2013 - 23:08
Chấm bài

[luuxuan9x]

Tính tích phân:
$$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5}dx$$
Đề của chagtraife

Bài làm của toán thủ luuxuan9x:

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{4cosx-3sinx}{4sinx+3cosx+5}dx +\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{4sinx+3cosx+5}$.

Đặt $I_1=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{4cosx-3sinx}{4sinx+3cosx+5}dx$

$I_2=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}dx$

$I_3=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{4sinx+3cosx+5}$

Ta đi tính $I_1=ln(4sin\frac{\pi }{2}+3cos\frac{\pi }{2}+5)-ln(4sin0+3cos0+5)=ln9-ln8$

$I_2=\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}$

$I_3=\frac{-1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$ (trễ rồi nên mai em trình bày cụ thể phần này )

Vậy $I=ln9-ln8+\frac{\pi }{2}+\frac{1}{6}$.

Điểm bài: 10
S = 25 + 10*3 = 55

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 06-02-2013 - 22:31
Chấm bài

[hoangkkk]

Mở rộng

Tính tích phân
$$I=\int\frac{a\sin x+b\cos x+c}{m\sin x+n\cos x+p}dx $$
Giải :

Ta có :
$$I=\frac{am+bn}{m^2+n^2}\int\frac{m\sin x+n\cos x+p}{m\sin x+n\cos x+p}dx+\frac{bm-an}{m^2+n^2}\int\frac{m\cos x-n\sin x}{m\sin x+n\cos x+p}dx+\left ( c-\frac{am+bn}{m^2+n^2}p \right )\int\frac{dx}{m\sin x+n\cos x+p}$$
$$=\frac{am+bn}{m^2+n^2}x+\frac{bm-an}{m^2+n^2}\int\frac{dx\left ( m\sin x+n\cos x+p \right )}{m\sin x+n\cos x+p}+\left ( c-\frac{am+bn}{m^2+n^2}p \right )\int\frac{dx}{m\sin x+n\cos x+p}$$
$$=\frac{am+bn}{m^2+n^2}x+\frac {bm-an}{m^2+n^2} \ln \left | m\sin x+n\cos x+p \right |+\left ( c-\frac{am+bn}{m^2+n^2} \right )\int\frac{dx}{m\sin x+n\cos x+p}$$
Đặt $J=\int\frac{dx}{m\sin x+n\cos x+p}$. Ta đi tính $J$
$$J=\int\frac{dx}{2m\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+n\left ( cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2} \right )+p\left ( \sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2} \right )}$$
$$=\int\frac{dx}{(n+p)\cos^2 \frac{x}{2}+2m\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}+(p-m)\sin^2 \frac{x}{2}}$$
$$=\int\frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{2}\left [ (p-m)\tan^2 \frac{x}{2}+2m\tan \frac{x}{2}+n+p \right ]}$$
$$=\int\frac{d\left ( \tan \frac{x}{2} \right )}{\frac{p-m}{2}\tan^2 \frac{x}{2}+m\tan \frac{x}{2}+\frac{n+p}{2}}$$
TH1 : $p=m \neq 0$, suy ra được $J=\int\frac{d\left ( \tan \frac{x}{2} \right )}{m\tan \frac{x}{2}+\frac{n+m}{2}}=\frac{1}{m}\ln \left | m\tan \frac{x}{2}+\frac{n+m}{2} \right |+C$ ($C$ là một số thực bất kỳ)
Trong trường hợp này ta tính được :
$$I=\frac{am+bn}{m^2+n^2}+\frac{bm-an}{m^2+n^2}\ln \left | m\sin x+n\cos x+p \right |+\frac{1}{m}\ln \left | m\tan \frac{x}{2}+\frac{n+m}{2} \right |+C$$
TH2 : $p=m=0$, suy ra được $J=\frac{n}{2}\int d\left (\tan \frac{x}{2} \right )=\frac{n}{2}.\tan \frac{x}{2}+C$
Như vậy ta được :
$$I=\frac{am+bn}{m^2+n^2}+\frac{bm-an}{m^2+n^2}\ln \left | m\sin x+n\cos x+p \right |+\frac{n}{2}.\tan \frac{x}{2}+C$$
TH3 : $p \neq m$. Ta có :
$$J=\frac{2}{p-m}\int\frac{d\left ( \tan \frac{x}{2} \right )}{\tan^2 \frac{x}{2}+\frac{4m}{p-m}\tan \frac{x}{2}+\frac{2(n+p)}{m-p}}$$
$$=\frac{2}{p-m}\int \frac{d\left ( \tan \frac{x}{2}+\frac{2m}{p-m} \right )}{\left ( \tan \frac{x}{2}+\frac{2m}{p-m} \right )^2+\frac{2(n+p)}{p-m}-4\left ( \frac{m}{p-m} \right )^2}$$
Đến đây ta xét hai khả năng :
KN1 : $\frac{2(n+p)}{p-m}\leq 4\left ( \frac{m}{p-m} \right )^2$, dễ dàng tính được :
$$J=-\frac{1}{p-m}.\frac{1}{\sqrt{4\left ( \frac{m}{p-m} \right )^2-\frac{2(n+p)}{p-m}}}\ln \left | \frac{\sqrt{4\left ( \frac{m}{p-m} \right )^2-\frac{2(n+p)}{p-m}}+\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{4\left ( \frac{m}{p-m} \right )^2-\frac{2(n+p)}{p-m}}-\tan \frac{x}{2}} \right |+C$$
Từ đây suy ra được tích phân $I$

KN2 : $\frac{2(n+p)}{p-m}\geq 4\left ( \frac{m}{p-m} \right )^2$
Ta được :
$$J=\frac{1}{\sqrt{\frac{2(n+p)}{p-m}-4\left ( \frac{m}{p-m} \right )^2}}\arctan \left ( \frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{\frac{2(n+p)}{p-m}-4\left ( \frac{m}{p-m} \right )^2}} \right )+C$$
Từ đây suy ra được tích phân $I$

Vậy bài toán được giải quyết hoàn toàn.

Điểm mở rộng: 10

[Gioi han]

Do bài trước em làm sai,mong BQT xóa bài trước,em xin gửi lại.

$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5}dx$
$=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1+\frac{4cosx-3sinx}{4sinx+3cosx+5}+\frac{1}{4sinx+3cosx+5})dx$
$=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{4cosx-3sinx}{4sinx+3cosx+5}dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{4sinx+3cosx+5}dx$
$=\frac{\pi}{2}+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d(4sinx+3cosx+5)}{4sinx+3cosx+5}+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{2(2cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2})^2}$
$=\frac{\pi}{2}+[ln|4sinx+3cosx+5|]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d(tan\frac{x}{2})}{(tan\frac{x}{2}+2)^2}$
$=\frac{\pi}{2}+ln\frac{9}{8}-\frac{1}{2+tan\frac{x}{2}}|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}+ln\frac{9}{8}+\frac{1}{6}$

Điểm bài: 10
S = 24 + 10*3 = 54

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 06-02-2013 - 22:32
Chấm bài

[Mrnhan]

Tính tích phân:
$$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5}dx$$
Đề của chagtraife

Mr.nhan
Giải:
$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{4cosx-3sinx}{4sinx+3cosx+5}dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{4sinx+3cosx+5}dx=\frac{\pi}{2}+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d(4sinx+3cosx+5)}{4sinx+3cosx+5}+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d(tan\frac{x}{2})}{(tan\frac{x}{2}+2)^2}=\frac{\pi}{2}+ln\frac{9}{8}+\frac{1}{6}$
P/s: Thầy chấm xem em được mấy điểm???


Điểm bài: 10
S = 24 + 10*3 = 54

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 06-02-2013 - 22:34
Chấm bài

[nthoangcute]

Tính tích phân:
$$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5}dx$$
Đề của chagtraife

Thấy đề hay hay nên làm cho vui:
Đặt $t=\tan \dfrac{x}{2}$
Khi đó $$\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5}=-\dfrac{1}{2} \dfrac{t^2-2t-13}{(t+2)^2}=-t+\dfrac{1}{2} \dfrac{t^2+1}{(t+2)^2}+\dfrac{t^2+1}{t+2}+1$$

Ta có: $$\int t \;dx=\ln (t^2+1)+C$$
Em chưa học nguyên hàm đúng không?
$$\int \dfrac{t^2+1}{(t+2)^2} \; dx=-\dfrac{2}{t+2}+C$$
$$\int \dfrac{t^2+1}{t+2}\; dx=2 \ln (t+2)+C$$
$$\int 1\; dx=x+C$$
Tóm lại là ta được:

Điểm bài: 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 06-02-2013 - 23:10
Chấm bài

[luuxuan9x]

Em xin trình bày kĩ lại phần $I_1$ và $I_3$.

Ta có $I_1=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{4cosx-3sinx}{4sinx+3cosx+5}dx$

Nhận thấy tử số là đạo hàm của mẩu số nên nguyên hàm của $I_1$ là $ln(4sinx+3cosx+5)$

=>$I_1=ln9-ln8$.

Còn $I_2=\int_{0}^\frac{\pi }{2}{\frac{dx}{4sinx+3cosx+5}}$

Đặt $t=tan\frac{x}{2}$. Khi đó $dx=\frac{2dt}{1+t^2}$, $sinx=\frac{2t}{1+t^2},cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

Khi đó $I_3=\int_{0}^{1}{\frac{dt}{(t+2)^2}}$

Nguyên hàm của $I_3$ là $-\frac{1}{t+2}$

=>$I_3=\frac{-1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$

Kết hợp với $I_2=\frac{\pi }{2}$ ta có $I=ln9-ln8+\frac{\pi }{6}+\frac{1}{6}$

Vậy $I=ln9-ln8+\frac{\pi }{6}+\frac{1}{6}$


(do trong Latex em không thấy nút để 2 cái cận nên em trình bày thế này, mong BTC thông cảm).

[Primary]

*Mở rộng: Tính $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{a_1sinx+a_2cosx+a_3}{a_4sinx+a_5cosx+a_6}dx$ với $\prod_{i=1}^{6}a_i\neq 0$, $a_i$ khác nhau từng đôi một và $a_4^2+a_5^2-a_6^2\geq 0$
Lời giải:
*Ta chọn $u,v,t$ sao cho $a_1sinx+a_2cosx+a_3=u(a_4sinx+a_5cosx+a_6)+v(a_4cosx-a_5sinx)+t$
Lần lượt thay $x$ bằng $0;\frac{\pi }{2};\pi$ ta được hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}(a_5+a_6)u+a_4.v+t=a_3+a_2 & & & & \\ (a_4+a_6)u-a_5.v+t=a_1+a_3 & & & & \\ (a_6-a_5)u-a_4.v+t=a_3-a_2 & & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{a_2.a_5+a_1.a_4}{a_4^2+a_5^2} & \\ v=\frac{a_2.a_4-a_1.a_5}{a_4^2+a_5^2} & \\ t=\frac{a_3.a_4^2+a_3.a_5^2-a_2.a_5.a_6-a_4.a_1.a_6}{a_4^2+a_5^2} & \end{matrix}\right.$
$I=\frac{u.\pi }{2}+ln|a_4sinx+a_5cosx+a_6||_0^\frac{\pi }{2}+J$ $=\frac{u.\pi }{2}+v(ln|a_4+a_6|-ln|a_5+a_6|)+tJ=\frac{u.\pi }{2}+v(ln|\frac{a_4+a_6}{a_5+a_6}|)+tJ$ với $J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{a_4sinx+a_5cosx+a_6}$
*Tính J
Đổi biến số $u=tan\frac{x}{2}\Rightarrow du=\frac{1}{2}(1+tan^2\frac{x}{2})dx$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow u=0;x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow u=1$
$\Rightarrow J=2\int_{0}^{1}\frac{du}{(a_6-a_5)u^2+2a_4.u+a_5+a_6}=2\int_{0}^{1}\frac{du}{f(u)}$
*Nếu $f(u)=0$ có 2 nghiệm phân biệt thì $J=\frac{2}{(a_6-a_5)(u_1-u_2)}\int_{0}^{1}(\frac{1}{u-u_1}-\frac{1}{u-u_2})du$ với $u_{1,2}=\frac{-a_4\pm \sqrt{a_4^2-a_6^2+a_5^2}}{a_6-a_5}$
Hay $J=\frac{2(ln|1-u_1|-ln|u_1|-ln|1-u_2|+ln|u_2|)}{(a_6-a_5)(u_1-u_2)}$
$\Rightarrow I=t.\frac{2(ln|1-u_1|-ln|u_1|-ln|1-u_2|+ln|u_2|)}{(a_6-a_5)(u_1-u_2)}+\frac{u.\pi }{2}+v.ln|\frac{a_4+a_6}{a_5+a_6}$
*Nếu $f(u)=0$ có nghiệm kép thì $J=2.\int_{0}^{1}\frac{du}{(a_6-a_5)(u+\frac{a_4}{a_6-a_5})^2}=\frac{-2}{a_6-a_5}.\left [ \frac{1}{u+\frac{a_4}{a_6-a_5}} \right ]_0^1=\frac{-2}{a_6-a_5+a_4}+\frac{2}{a_4}$
$\Rightarrow I=t(\frac{-2}{a_6-a_5+a_4}+\frac{2}{a_4})+\frac{u.\pi }{2}+v.ln|\frac{a_4+a_6}{a_5+a_6}|$

Nếu f(u) = 0 vô nghiệm?
Điểm mở rộng: 8

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 06-02-2013 - 23:06
Chấm bài

[hxthanh]

Update!
Đáp án chính thức

Đề: tính tích phân:
$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5}dx$
Giải:
ta có:
$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5}dx$
Đặt $t = \tan \frac{x}{2}$ ta có $dt = \frac{1}{2}(1+ \tan ^{2}\frac{x}{2})dx = \frac{1}{2}(1+t^2)dx$
$\Rightarrow dx = \frac{2dt}{1+t^2}$
và $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$, $ \cos x =\frac{1-t^2}{1+t^2}$
khi $x=0$ thì $t=0$ , khi $x= \frac{\pi}{2}$ thì t=1


vậy $I=\int_{0}^{1}\frac{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{7(1-t^2)}{1+t^2}+6}{\frac{8t}{1+t^2}+\frac{3(1-t^2)}{1+t^2}+5}.\frac{2dt}{1+t^2}$

=$\int_{0}^{1}\frac{-t^2+2t+13}{(t+2)^2(1+t^2)}dt$

=$\int_{0}^{1}[\frac{2}{t+2}+\frac{1}{(x+2)^2}+\frac{-2t+2}{t^2+1}]dt$

=$2\ln \left | t+2 \right |\mid ^1_0-\frac{1}{t+2}\mid^1_0-\int_{0}^{1}\frac{1}{t^2+1}d(t^2)+2\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^2+1}$

=$2\ln \left | t+2 \right |\mid ^1_0-\frac{1}{t+2}\mid^1_0-\ln \left | t^2+1 \right |\mid ^1_0+2\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^2+1}$

Xét $\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^2+1}$,dặt $t=\tan u$ ta có: $dt=(1+\tan ^2u)du$
khi $t=0$ thì $u=0$, khi $t=1$ thì $u=\frac{\pi}{4}$
Do đó $\int_{0}^{1}\frac{2dt}{t^2+1}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{(1+\tan ^2u)du}{1+\tan ^2u}=u\mid^\frac{\pi }{4}_0=\frac{\pi }{4}$
Vậy: $I= 2\ln 3-3\ln 2+\ln 1+\frac{1}{6}+\frac{\pi }{2}$

[Primary]

Không biết để $ln1$ làm gì nhĩ

[hxthanh]

...
(do trong Latex em không thấy nút để 2 cái cận nên em trình bày thế này, mong BTC thông cảm).

Code để viết thành cái này $\left.\dfrac{12f(x)}{4+4}\right|_{1}^{2}$ là:

$\left.\dfrac{12f(x)}{4+4}\right|_{1}^{2}$

hoặc em có thể tạo ra dấu gạch lớn $\bigg|_{1}^{2}$ là

$\bigg|_{1}^{2}$

[E. Galois]

Đã chấm xong trận này, các toán thủ có 1 ngày để phúc khảo

[E. Galois]

Điểm ra đề: 0*4+ 3*16+2*2+30 =82