Chủ đề này có 2 trả lời

[huongway279]

1)Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của điểm H qua AB, AC.
a)Chứng minh A, E, F thẳng hàng
b)Chứng mính BÈC là hình thang. Có thể tìm được vị trí của H để BEHF trở thành hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật không?
c)Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất
2Cho hình bình hành ABCD cà điểm O tuỳ ý thuộc miền trong của hình bình hành. Nối OA, OB, OC, OD. Chứng minh:

$S_{OAB}+S_{OCD}=S_{OAD}+S_{OBC}$

3)Cho hình bình hành ABCD. Điểm E trên tia đối của của ita BA, điểm F trên tia đối của tia AD. Nối BF cắt nhau ở K. Chứng minh diện tích tứ giác ABKD bằng tổng diện tích hai tam giác CKE và CKF.

[Tienanh tx]

2Cho hình bình hành ABCD cà điểm O tuỳ ý thuộc miền trong của hình bình hành. Nối OA, OB, OC, OD. Chứng minh:

$S_{OAB}+S_{OCD}=S_{OAD}+S_{OBC}$

$Solution:$
$\oplus$ $N,M,K,H$ lần lượt là chân đường vuôg góc kẽ từ $O$ đến $AB, DC, BC, AD$
$\oplus$ Ta có: $ S_{AOB} + S_{ODC} = \dfrac{NO.AB}{2} + \dfrac{MO.DC}{2} = \dfrac{S_{ABCD}}{2}$
$S_{OAD} +S_{OBC} = \dfrac{OH.AD}{2} + \dfrac{OK.BC}{2} = \dfrac{S_{ABCD}}{2}$
$\Longrightarrow$ $Q.E.D$

[DarkBlood]

1)Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của điểm H qua AB, AC.
a)Chứng minh A, E, F thẳng hàng
b)Chứng mính BEFC là hình thang. Có thể tìm được vị trí của H để BEHF trở thành hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật không?
c)Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất.

$a)$ $H$ đối xứng với $E$ qua $AB$
$\Rightarrow$ $\widehat{HAB}$ đối xứng với \widehat{EAB} qua $AB$
$\Rightarrow$ $\widehat{HAB}=\widehat{EAB}$
Tương tự $\widehat{HAC}=\widehat{FAC}$
Do đó $\widehat{EAB}+\widehat{FAC}=\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}=90^{\circ}$
$\Rightarrow$ $\widehat{EAF}=\widehat{EAB}+\widehat{FAC}+\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
Vậy 3 điểm $A,$ $E,$ $F$ thẳng hàng.

$b)$ Dễ thấy $\widehat{EBA}=\widehat{HBA};$ $\widehat{FCA}=\widehat{HCA}$
$\Rightarrow $ $\widehat{EBA}+\widehat{FCA}=\widehat{HBA}+\widehat{HCA}=90^{\circ}$
Do đó: $\widehat{EBA}+\widehat{FCA}+\widehat{HBA}+\widehat{HCA}=180^{\circ}$
$\Rightarrow $ $\widehat{EBC}+\widehat{FCB}=180^{\circ}$
$\Rightarrow $ $EB//FC$
$\Rightarrow $ Tứ giác $BEFC$ là hình thang.

$c)$ Gọi giao điểm $HE$ với $AB$ là $M,$ giao điểm của $HF$ với $AC$ là $N.$
Dễ thấy $\widehat{EHF}=90^{\circ}$
$\Rightarrow $ $S_{EHF}=\frac{1}{2}.EH.FH=\frac{1}{2}.2.MH.2.NH=2.NH.MH=2.S_{AMHN}$
Do đó $S_{EHF}$ lớn nhất khi $S_{AMHN}$ lớn nhất.
Các bạn tham khảo bài toán sau:

Bài toán tương tự: Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ tùy ý. Đường thẳng qua $M$ và song song với $AB$ cắt $AC$ ở $P$. Đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ cắt $AB$ ở $Q$. Chứng minh rằng $S_{APMQ}\leq \dfrac{1}{2}S_{ABC}$, dấu "$=$" xảy ra khi nào?

Giả sử $CM\leq BM.$
Trên tia đối tia $MC$ lấy $C'$ sao cho $MC=MC'.$
Qua $C'$ dựng đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB,$ $PM$ lần lượt tại $A'$ và $P'$
Ta có:
$\bigtriangleup MPC=\bigtriangleup MP'C'$
$\Rightarrow S_{MPC}=S_{MP'C'}$ và $MP=MP'$
Dễ dàng chứng minh được $AQMP$ và $A'QMP'$ là hình bình hành.
Xét hình bình hành $AQMP$ và $A'QMP',$ có $MP=MP'$ và chung đường cao hạ từ $Q$ nên $S_{AQMP}=S_{A'QMP'}$
Ta có:
$S_{A'QMC'}\leq S_{BMQ}$
$\Rightarrow S_{A'QMC'}+S_{MP'C'}\leq S_{BMQ}+S_{MPC}$
$\Rightarrow S_{A'QMP'}\leq S_{BMQ}+S_{MPC}$
$\Rightarrow S_{AQMP}+S_{AQMP}\leq S_{BMQ}+S_{MPC}+S_{AQMP}=S_{ABC}$
$\Rightarrow S_{AQMP}\leq \frac{1}{2}S_{ABC}$
Chứng minh tương tự với trường hợp $BM\leq CM.$

Lấy $H'$ trung điểm $BC.$ Qua $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB,$ $AC$ cắt $AB,$ $AC$ tại $M',$ $N'$
Dễ thấy $S_{ABC}=2.S_{AM'HN'}$
Áp dụng kết quả trên ta có:
$S_{AMHN}\leq \frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{2}.2.S_{AM'HN'}=S_{AM'HN'}$
Vậy khi $H$ là trung điểm $BC$ thì $S_{AMHN}$ lớn nhất, hay $S_{EHF}$ lớn nhất.
======================
Bài 3 xem lại đề bạn nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 19-01-2013 - 20:38