Chủ đề này có 1 trả lời

[Issac Newton]

Giả sử $A(a,b)$ và $B(c,d)$ là hai điểm chạy trên đường tròn $x^2+y^2=5$. CMR: $\sqrt{5-a-2b}+\sqrt{5-c-2d}+\sqrt{5-ac-bd}\leq \frac{3\sqrt{20}}{2}$
Bài này dành tặng đặc biệt cho Gin Escaper

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Issac Newton: 19-01-2013 - 16:29

[anhxuanfarastar]

Giả sử $A(a,b)$ và $B(c,d)$ là hai điểm chạy trên đường tròn $x^2+y^2=5$. CMR: $\sqrt{5-a-2b}+\sqrt{5-c-2d}+\sqrt{5-ac-bd}\leq \frac{3\sqrt{20}}{2}$
Bài này dành tặng đặc biệt cho Gin Escaper

BDT tương đương với $\sqrt{10-2a-4b}+\sqrt{10-2c-4d}+\sqrt{10-2ac-2bd}\leq 3\sqrt{15} (1)$
Do $A(a;b)$ và $B(c;d)$ nằm trên đường tròn $©$ nên ta có: $a^2+b^2=c^2+d^2=5$ vậy nên
$(1)$ tương đương với $\sqrt{(a-1)^2+(b-2)^2}+\sqrt{(c-1)^2+(d-2)^2}+\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\leq 3\sqrt{15}(2)$
Xét $N(1;2)$ thuộc $©$, khi đó:$(1)\Leftrightarrow AN+BN+AB\leq 3\sqrt{15}(3)$
Ta thấy $AN+BN+AB$ là chu vi của $\Delta ABN$, còn $3\sqrt{15}$ là chu vi của tam giác nội tiếp trong đường tròn $x^2+y^2=5$. Từ kết quả khá quan trọng của hình học phẳng (Có lẽ là ai cũng biết): "Trong mọi tam giác cùng nội tiếp một đường tròn, tam giác đều là tam giác có chu vi và diện tích lớn nhất" Suy ra $(2)(3)$ hiển nhiên đúng, suy ra dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhxuanfarastar: 24-01-2013 - 16:40