Chủ đề này có 3 trả lời

[euler98]

cho x,y nguyên dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+1$ chia hết cho $xy$
Chứng minh $\frac{x^{2}+y^{2}+1}{xy}=3$

MOD: Chào bạn, công thức toán được đặt giữa hai dấu $$ bạn nhé

$Công thức$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MIM: 20-01-2013 - 08:01

[NLT]

cho x,y nguyên dương thỏa mãn x^{2}+y^{2}+1 chia hết cho xy
Chứng minh \frac{x^{2}+y^{2}+1}{xy}=3

Dùng Viete nhé em

Có thể tham khảo lời giải sau, trích lời giải của em Tạ Hà Nguyên (nguyenta98) cho bài toán:

Cho $a,b$ là 2 số nguyên dương sao cho $A=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}$ là 1 số nguyên. Chứng minh rằng A là số bình phương đúng.

Lời giải của Nguyên như sau:

Giả sử $k$ không chính phương
Cho $k=\dfrac{a^2+b^2}{ab+1} \rightarrow a^2-a(bk)+b^2-k=0<1>$
Giả sử $(A,B)$ là bộ nghiệm của <1> thỏa $A+B$ bé nhất
Ta giả sử $x$ cũng là nghiệm (thay thế cho $A$) vào <1> thu được $x^2-x(Bk)+B^2-k=0<2>$
Khi đó $x_1,x_2$ là hai nghiệm của <2> và $x_1=A$ theo định lý Viet $x_2=\dfrac{B^2-k}{A}$
Dễ chứng minh $x_2>0$ và nếu $x_2=0 \rightarrow B^2=k$ vô lý với giả sử
Do đó $x_2<A \rightarrow x_2+B<A+B$ mâu thuẫn do $A+B$ bé nhất
Vậy $k$ chính phương

Và bài trên của em giải hoàn toàn tương tự

P/s: ĐHV THCS edit topic và nhắc nhở bạn ấy nhé !
___
NLT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 20-01-2013 - 07:25

[euler98]

a có thể giải bài của e ra luôn không

[Joker9999]

cho x,y nguyên dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+1$ chia hết cho $xy$
Chứng minh $\frac{x^{2}+y^{2}+1}{xy}=3$

Lời giải:
Giả sử $\frac{x^2+y^2+1}{xy}=k\Rightarrow x^2-kxy+y^2+1=0$. Giả sử phương trình có nghiệm $x_0,y_0$ sao cho $x_0+y_0$ nhỏ nhất.
Nếu $x_0=y_0\Leftrightarrow 2x_0^2+1=kx_0^2\Rightarrow k=3,x_0=y_0=1$
Giả sử $x_0> y_0$ , gọi $x_1$ là 1 nghiệm khác nữa thì theo định lý Viete ta có:$x_0+x_1=ky$ và $x_0x_1=y^2+1$
Ta có: $y^2+1-ky=(x_0-1)(x_1-1)-1\geq y_0^2-1\Leftrightarrow k\leq 2$. Xét cả 2 trường hơp này ta đều loại do $x^2+y^2+1>2xy$
Tóm lại : $k=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 20-01-2013 - 09:58