Chủ đề này có 8 trả lời

[barcavodich]

Tìm tất cả các hàm số
$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn $\forall x,y\in\mathbb{R}$ thì ta có $f(xf(x)+f(y)) = f(x)^2+y$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 22-01-2013 - 09:49

[tramyvodoi]

Tìm tất cả các hàm số $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ thỏa mãn $ \forall x,y\in\mathbb{R} $ thì ta có
\[ f(xf(x)+f(y)) = f(x)^2+y \]

Thay x=0 ta được: $f(f(y))=(f(0))^{2}+y$. Từ đây ta suy ra f đơn ánh. (1)
Vế phải của (1) là hàm bậc nhất theo biến y nên tập giá trị của nó là R, do đó tập trị của vế trái cũng là R. Nghĩa là tập giá trị của hàm số là R. Vậy có số a sao f(a)=0.
Thay x=y=a vào đề ta được f(0)=a
Ta lại có $f(f(a))=(f(0))^{2}+a$
$\Rightarrow f(0)=(f(0))^{2}+a$
Do f(o)=a. (chứng minh trên) và do f đơn ánh nên $\Rightarrow a=(f(0))^{2}+a$
$\Rightarrow f(0)=a$ $\Rightarrow a=0$
Vậy $f(f(x))=x$.
Thay y=0 ta có $f(xf(x))=(f(x))^{2}$ (2)
Thay x=f(x) trong (2) ta được
$f(f(x)f(f(x)))=(f(f(x)))^{2}\Rightarrow f(xf(x))=x^{2}$
$\Rightarrow (f(x))^{2}=x^{2}$
$\Rightarrow f(x)=x$ hay $\Rightarrow f(x)=-x$
Đến đây thử lại là ok

[lovesmaths]

Thay x=0 ta được: $f(f(y))=(f(0))^{2}+y$. Từ đây ta suy ra f đơn ánh. (1)
Vế phải của (1) là hàm bậc nhất theo biến y nên tập giá trị của nó là R, do đó tập trị của vế trái cũng là R. Nghĩa là tập giá trị của hàm số là R. Vậy có số a sao f(a)=0.
Thay x=y=a vào đề ta được f(0)=a
Ta lại có $f(f(a))=(f(0))^{2}+a$
$\Rightarrow f(0)=(f(0))^{2}+a$
Do f(o)=a. (chứng minh trên) và do f đơn ánh nên $\Rightarrow a=(f(0))^{2}+a$
$\Rightarrow f(0)=a$ $\Rightarrow a=0$
Vậy $f(f(x))=x$.
Thay y=0 ta có $f(xf(x))=(f(x))^{2}$ (2)
Thay x=f(x) trong (2) ta được
$f(f(x)f(f(x)))=(f(f(x)))^{2}\Rightarrow f(xf(x))=x^{2}$
$\Rightarrow (f(x))^{2}=x^{2}$
$\Rightarrow f(x)=x$ hay $\Rightarrow f(x)=-x$
Đến đây thử lại là ok

Hình như giải đến đây vẫn chưa xong.
$\Rightarrow (f(x))^{2}=x^{2}$ thì chưa thể khẳng định f(x)=x hay -x với mọi x đc.
Có thể f(x)=x với một số x nào đó và bằng -x với một số x khác


Vẫn chưa đầy đu

[tramyvodoi]

Hình như giải đến đây vẫn chưa xong.
$\Rightarrow (f(x))^{2}=x^{2}$ thì chưa thể khẳng định f(x)=x hay -x với mọi x đc.
Có thể f(x)=x với một số x nào đó và bằng -x với một số x khác


Vẫn chưa đầy đu

Tới đây, mình sẽ thử lại như sau:
Giã sữ có 2 số a, b sao cho $f(a)=-a$ và $f(b)=b$ với a, b khác 0.
Thay x=a,y=b vào hệ thức đầu bài ta được:
$f(-a^{2}+b)=a^{2}+b\neq _{-}^{+}\textrm{}(-a^{2}+b)$
Kết luận $f(x)=x$ hay $f(x)=-x$

[luuxuan9x]

Thay x=0 ta được: $f(f(y))=(f(0))^{2}+y$. Từ đây ta suy ra f đơn ánh. (1)
Vế phải của (1) là hàm bậc nhất theo biến y nên tập giá trị của nó là R, do đó tập trị của vế trái cũng là R. Nghĩa là tập giá trị của hàm số là R. Vậy có số a sao f(a)=0.
Thay x=y=a vào đề ta được f(0)=a
Ta lại có $f(f(a))=(f(0))^{2}+a$
$\Rightarrow f(0)=(f(0))^{2}+a$
Do f(o)=a. (chứng minh trên) và do f đơn ánh nên $\Rightarrow a=(f(0))^{2}+a$
$\Rightarrow f(0)=a$ $\Rightarrow a=0$
Vậy $f(f(x))=x$.
Thay y=0 ta có $f(xf(x))=(f(x))^{2}$ (2)
Thay x=f(x) trong (2) ta được
$f(f(x)f(f(x)))=(f(f(x)))^{2}\Rightarrow f(xf(x))=x^{2}$
$\Rightarrow (f(x))^{2}=x^{2}$
$\Rightarrow f(x)=x$ hay $\Rightarrow f(x)=-x$
Đến đây thử lại là ok

Tại sao chổ in đỏ có thể suy ra là đơn ánh vậy bạn?

[perfectstrong]

Tại sao chổ in đỏ có thể suy ra là đơn ánh vậy bạn?

Nếu có $y_1;y_2:f(y_1)=f(y_2)$ thì thay lần lượt $y$ bởi $y_1;y_2$ trong (1) rồi so sánh, suy ra $y_1+f(0)^2=y_2+f(0)^2 \Rightarrow y_1=y_2$
$\Rightarrow f$ là đơn ánh.

[luuxuan9x]

Nếu có $y_1;y_2:f(y_1)=f(y_2)$ thì thay lần lượt $y$ bởi $y_1;y_2$ trong (1) rồi so sánh, suy ra $y_1+f(0)^2=y_2+f(0)^2 \Rightarrow y_1=y_2$
$\Rightarrow f$ là đơn ánh.

Nếu làm cách này thì đi hướng này nhanh hơn.

Nếu có $y_1;y_2:f(y_1)=f(y_2)$ khi đó:


$f(xf(x)+f(y_1)) = f(xf(x)+f(y_2))$

=>$y_1=y_2$

=> $f$ đơn ánh.

[phatsp]

Thay x=0 ta được: $f(f(y))=(f(0))^{2}+y$. Từ đây ta suy ra f đơn ánh. (1)
Vế phải của (1) là hàm bậc nhất theo biến y nên tập giá trị của nó là R, do đó tập trị của vế trái cũng là R. Nghĩa là tập giá trị của hàm số là R. Vậy có số a sao f(a)=0.
Thay x=y=a vào đề ta được f(0)=a
Ta lại có $f(f(a))=(f(0))^{2}+a$
$\Rightarrow f(0)=(f(0))^{2}+a$
Do f(o)=a. (chứng minh trên) và do f đơn ánh nên $\Rightarrow a=(f(0))^{2}+a$
$\Rightarrow f(0)=a$ $\Rightarrow a=0$
Vậy $f(f(x))=x$.
Thay y=0 ta có $f(xf(x))=(f(x))^{2}$ (2)
Thay x=f(x) trong (2) ta được
$f(f(x)f(f(x)))=(f(f(x)))^{2}\Rightarrow f(xf(x))=x^{2}$
$\Rightarrow (f(x))^{2}=x^{2}$
$\Rightarrow f(x)=x$ hay $\Rightarrow f(x)=-x$
Đến đây thử lại là ok

cho hỏi tại sao mình  thế được x=f(x) vậy 

[Idie9xx]

cho hỏi tại sao mình  thế được x=f(x) vậy 

Vì $f(x)$ cũng được coi là 1 biến mà $(2)$ luôn thỏa mãn với mọi biến nên có thể thay thế được