Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$a^{2} + b^{2} - abc$ $=$ $z^{2}$ $(z \in \mathbb{Z})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 20-01-2013 - 11:33

Cho $\text{a , b , c} \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng :
Nếu $0 < a^{2} + b^{2} - abc \leq c$ thì $a^{2} + b^{2} - abc$ là một số chính phương.

#2 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 20-01-2013 - 13:39

Cho $\text{a , b , c} \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng :
Nếu $0 < a^{2} + b^{2} - abc \leq c$ thì $a^{2} + b^{2} - abc$ là một số chính phương.

Ý tưởng là Vieta-jumping thôi.
Đặt $a^{2} + b^{2} - abc= k\leq c$
Giả sử có ${a_0},{b_0},{c_0}$ thỏa đề và ${a_0}+{b_0}$ là nhỏ nhất trong đó ${a_0}\geq {b_0}$
+ Nếu ${a_0}={b_0}$ thì dễ thấy đpcm.
+ Nếu ${a_0}> {b_0}$ thì viết lại pt đầu dưới dạng pt bậc $2$ ẩn ${a_0}$ thì nó sẽ có thêm $1$ nghiệm $a$ nữa thỏa mãn
$a+{a_0}= bc;a{a_0}= b^{2}-k$
$a< 0\Rightarrow k-b^{2}\geq bc$ vô lí vì $k\leq c$
$a> 0\Rightarrow b^{2}-k-bc+1= (a-1)({a_0}-1)\geq b^{2}$ vô lí
$\Rightarrow a= 0\Rightarrow k= b^{2}$ đpcm




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh