Đến nội dung

Hình ảnh

$a^{2} + b^{2} - abc$ $=$ $z^{2}$ $(z \in \mathbb{Z})$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
Cho $\text{a , b , c} \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng :
Nếu $0 < a^{2} + b^{2} - abc \leq c$ thì $a^{2} + b^{2} - abc$ là một số chính phương.

#2
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Cho $\text{a , b , c} \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng :
Nếu $0 < a^{2} + b^{2} - abc \leq c$ thì $a^{2} + b^{2} - abc$ là một số chính phương.

Ý tưởng là Vieta-jumping thôi.
Đặt $a^{2} + b^{2} - abc= k\leq c$
Giả sử có ${a_0},{b_0},{c_0}$ thỏa đề và ${a_0}+{b_0}$ là nhỏ nhất trong đó ${a_0}\geq {b_0}$
+ Nếu ${a_0}={b_0}$ thì dễ thấy đpcm.
+ Nếu ${a_0}> {b_0}$ thì viết lại pt đầu dưới dạng pt bậc $2$ ẩn ${a_0}$ thì nó sẽ có thêm $1$ nghiệm $a$ nữa thỏa mãn
$a+{a_0}= bc;a{a_0}= b^{2}-k$
$a< 0\Rightarrow k-b^{2}\geq bc$ vô lí vì $k\leq c$
$a> 0\Rightarrow b^{2}-k-bc+1= (a-1)({a_0}-1)\geq b^{2}$ vô lí
$\Rightarrow a= 0\Rightarrow k= b^{2}$ đpcm




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh