Chủ đề này có 4 trả lời

[thanhelf96]

1) Cho a,b,c là ba số dương. Chứng minh rằng: $(abc)^{\frac{a+b+c}{3}}\leq a^ab^bc^c$

2) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn : $x+3y+5z\leq 3$. Chứng minh rằng:
$3xy\sqrt{625z^4+4}+15yz\sqrt{x^4+4}+5zx\sqrt{81y^4+4}\geq 45\sqrt{5}xyz$

[thanhelf96]

các bạn có thể tham khảo lời giải câu 2 tại đây :
còn câu 1 thì mình chịu

[WhjteShadow]

1) Cho a,b,c là ba số dương. Chứng minh rằng: $(abc)^{\frac{a+b+c}{3}}\leq a^ab^bc^c$

Do $\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\geq abc$ nên ta sẽ chứng minh:
$$a^ab^bc^c\geq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{a+b+c}$$
Lấy Logarit Nepe 2 vế, ta cần chứng minh:
$$ a.\ln a+b.\ln b+c.\ln c\geq (a+b+c).\ln \left(\frac{a+b+c}{3}\right)$$
Xét hàm số $f(a)=a.\ln a$, ta có $f''(a)=\frac{1}{a}>0 \forall a>0$ nên hàm số $f(a)=a.\ln a$ lõm trên $(0;\infity)$
Áp dụng bất đẳng thức $Jensen$ ta có:
$$f(a)+f(b)+f \left(c\right)\geq 3f \left(\frac{a+b+c}{3}\right)$$
$$\Leftrightarrow a.\ln a+b.\ln b+c.\ln c\geq (a+b+c).\ln \left(\frac{a+b+c}{3}\right)$$
Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ $\square$

[anhminhkhon]

câu 2 chắc sử dụng côsi
sau đấy thì mình chịu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhminhkhon: 20-01-2013 - 21:11

[thanhelf96]

Do $\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\geq abc$ nên ta sẽ chứng minh:
$$a^ab^bc^c\geq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{a+b+c}$$
Lấy Logarit Nepe 2 vế, ta cần chứng minh:
$$ a.\ln a+b.\ln b+c.\ln c\geq (a+b+c).\ln \left(\frac{a+b+c}{3}\right)$$
Xét hàm số $f(a)=a.\ln a$, ta có $f''(a)=\frac{1}{a}>0 \forall a>0$ nên hàm số $f(a)=a.\ln a$ lõm trên $(0;\infity)$
Áp dụng bất đẳng thức $Jensen$ ta có:
$$f(a)+f(b)+f \left(c\right)\geq 3f \left(\frac{a+b+c}{3}\right)$$
$$\Leftrightarrow a.\ln a+b.\ln b+c.\ln c\geq (a+b+c).\ln \left(\frac{a+b+c}{3}\right)$$
Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ $\square$

Em mới học lớp 11 có cách nào dành cho lớp 11 không anh?