Chủ đề này có 5 trả lời

[Kudo Shinichi]

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn: $x+2y+3z=\frac{1}{4}$. Tìm max:
$M=\frac{232y^{3}-x^{3}}{2xy+24y^{2}}+\frac{783z^{3}-y^{3}}{6yz+54z^{2}}+\frac{29x^{3}-27z^{3}}{3xz+6x^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 20-01-2013 - 16:04

[no matter what]

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn: $x+2y+3z=\frac{1}{4}$. Tìm max:
$M=\frac{232y^{3}-x^{3}}{2xy+24y^{2}}+\frac{783z^{3}-y^{3}}{6yz+54z^{2}}+\frac{29x^{3}-27z^{3}}{3xz+6x^{2}}$

Đặt $x=a;2y=b;3z=c$ viết đk về $a,b,c >0,a+b+c=\frac{1}{4}$
Thật "may mắn" M có thể viết về dạng
$\frac{29b^3-a^3}{ab+6b^2}+\frac{29c^3-b^3}{bc+6c^2}+\frac{29a^3-c^3}{ac+6a^2}$
Bằng biến đổi thuần túy,ta chứng minh được BĐT sau
$\frac{29b^3-a^3}{ab+6b^2}\leq 5b-a$(1)
Thật vậy,(1) tương đương $a^3+b^3\geq ab(a+b)$
Bài toán xem như được giải quyết

[Mushz]

Đặt $x=a;2y=b;3z=c$ viết đk về $a,b,c >0,a+b+c=\frac{1}{4}$
Thật "may mắn" M có thể viết về dạng
$\frac{29b^3-a^3}{ab+6b^2}+\frac{29c^3-b^3}{bc+6c^2}+\frac{29a^3-c^3}{ac+6a^2}$
Bằng biến đổi thuần túy,ta chứng minh được BĐT sau
$\frac{29b^3-a^3}{ab+6b^2}\leq 5b-a$(1)
Thật vậy,(1) tương đương $a^3+b^3\geq ab(a+b)$
Bài toán xem như được giải quyết

sao bạn ra đc $\frac{29b^3-a^3}{ab+6b^2}\leq 5b-a$ vậy? Hình như có phương pháp phải ko?

[no matter what]

sao bạn ra đc $\frac{29b^3-a^3}{ab+6b^2}\leq 5b-a$ vậy? Hình như có phương pháp phải ko?

cái đó mình quen rồi,còn có có pp hay không thì mình cũng chịu?

[Tienanh tx]

bài này mình tổng quát hóa lên nhé
Bài toán: $a,b,c > 0$ và $\alpha; \beta ; \gamma $ là các hằng số, ta luôn có:

$\frac{{\alpha a^3 - c^3 }}{{ca + \beta a^2 }} + \frac{{\alpha b^3 - a^3 }}{{ba + \beta b^2 }} + \frac{{\alpha c^3 - b^3 }}{{bc + \beta c^2 }} \le \gamma (a + b + c)$

$Proof:$

$\oplus$ Đối với dạng toán này ta chĩ cần chứng minh
$\sum {\frac{{\alpha a^3 - c^3 }}{{ca + \beta a^2 }}} \le \left( {\gamma + 1} \right)\sum a - c$
bất đẳng thức trên luôn luôn về dạng $a^{n - 1} b + ab^{n - 1} \le a^n + b^n (n \in {\rm N}^* )$ $(n \ge 3)$
$\Longrightarrow$ Bất đẳng thức luôn đúng

[Tienanh tx]

Một số bài toán tương tự nhé
Bài toán: Cho $a,b,c > 0$, chứng minh rằng:


$a,$ $\frac{5a^3 - c^3 }{ca + 3a^2 } + \frac{5b^3 - a^3 }{ba + 3b^2 } + \frac{5c^3 - b^3 }{bc + 3c^2 } \le a + b + c $
$b,$ $\frac{11a^3 - c^3 }{ca + 4a^2 } + \frac{11b^3 - a^3 }{ba + 4b^2 } + \frac{11c^3 - b^3 }{bc + 4c^2 } \le 2 ({a + b + c}) $
$c,$ $\frac{19a^3 - c^3 }{ca + 5a^2 } + \frac{19b^3 - a^3 }{ba + 5b^2 } + \frac{19c^3 - b^3 }{bc + 5c^2 } \le 4 ({a + b + c}) $
$d,$ $\frac{41a^3 - c^3 }{ca + 7a^2 } + \frac{41b^3 - a^3 }{ba + 7b^2 } + \frac{41c^3 - b^3 }{bc + 7c^2 } \le 5 ({a + b + c})$
Cứ áp dụng côg tắc mà làm nhé