Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}\leq \sqrt{3}$
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}\leq \sqrt{3}$
Bắt đầu bởi Sagittarius912, 20-01-2013 - 20:15
#1
Đã gửi 20-01-2013 - 20:15
Sagittarius912
-
- Thành viên
-
- 776 Bài viết
Trung úy
#2
Đã gửi 20-01-2013 - 20:57
no matter what
-
- Thành viên
-
- 397 Bài viết
Why not me
Thực hiện qua 3 bướcCho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}\leq \sqrt{3}$
(1) Dùng C-S đưa về cùng mẫu
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}= \sum \sqrt{\frac{a^2(1+b+c)}{(a^2+b+c)(1+b+c)}}\leq \frac{\sum a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$
(2) Không dùng C-S trực tiếp mà tách theo kiểu sau
$\frac{\sum a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}= \frac{ \sum \sqrt{a} \sqrt{a(1+b+c)}}{a+b+c} \leq \frac{\sqrt{(a+b+c) \left [ \sum a(1+b+c) \right ]}}{ \sqrt{(\sum a)(\sum a)}}$
(3) Thu gọn (2) và C-S bước cuối $\frac{ \sqrt{(a+b+c) \left[ \sum a(1+b+c) \right] }}{\sqrt{(\sum a)(\sum a)}}= \sqrt{1+\frac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c}} \leq \sqrt{1+\frac{2 \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{3}} = \sqrt{3}$
@Toàn: Chỉnh cái TeX nhọc chết
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 21-01-2013 - 12:51
- tramyvodoi yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
