Vào tháng 6 năm 1696, John Bernouilli gửi một lời thách thức đến cho toàn giới Toán học thời bấy giờ (chủ yếu là gửi đến ông anh trai James Bernouilli ) bằng bài toán sau đây:
“Tìm đường cong nối 2 điểm A và B ( trong đó B nằm thấp hơn A và cả hai không cùng nằm trên đường thẳng đứng) sao cho một chất điểm chuyển động không ma sát dưới tác động của trọng lực khởi đầu từ A dọc theo đường cong đó sẽ đến B sớm nhất?”.
Nói cho dễ hiểu là bạn phải làm cái máng trượt có hình thù thế nào để hòn bi lăn đến đích sớm nhất.
Lần này chắc các bạn không nghĩ quỹ đạo cần tìm là đoạn thẳng nối 2 điểm A, B nữa chứ ? Thật ra thì bài toán này không phải là mới. Trong một cuốn sách của mình xuất bản 1638, Galileo cũng đã đề cập đến bài toán này và chứng minh được rằng quỹ đạo là cung tròn thì nhanh hơn quỹ đạo thẳng. Tuy vậy sự lựa chọn đường đi là cung tròn của ông không phải là lời giải đúng.
Về phần mình, John Bernouilli đã đặt tên cho đường cong ngắn nhất đó là ‘Brachistochrone’, mà ông đã nối với nhau hai từ Hi Lạp: ‘Brachistos’ nghĩa là ngắn nhất và ‘chronos’ nghĩa là thời gian. Một cách ‘Việt Nam’ chúng ta có thể gọi nó là ‘đường đoản thời’. Như ta đã biết: trong toán học một hàm số có đồ thị là một đường cong nào đó, và ngược lại nói chung mỗi đường cong sẽ có thể là đồ thị của một hàm số nào đó. Thay vì tìm đường cong, chúng ta sẽ tìm hàm số nhận nó làm đồ thị. Đầu tiên chúng ta đặt đường cong nối từ A đến B vào một hệ tọa độ nhận A làm gốc với trục tung hướng thẳng đứng xuống dưới như sau:
Vì chất điểm chuyển động dưới tác dụng của trọng lực nên ta ‘dễ dàng’ xác định được vận tốc của chất điểm tại điểm C có tung độ $y$ nào đó sẽ là: $v=\sqrt{2gy}$. Xin các bạn yên tâm là tôi sẽ không bắt chước theo các giảng viên đại học bây giờ với các điệp khúc: ” Ồ! dễ thấy rằng… hay không mấy khó khăn ta sẽ…”. Thật ra nhờ đi dạy mà tôi biết rằng trong các trường hợp mà Thầy giáo còn ’khó thấy’ thì dễ dàng nhất là cứ nói: “dễ thấy rằng…” Ngụ ý: chỉ có khờ mới không thấy, mà cuộc đời đâu có ai chịu nhận mình khờ …Trở lại vấn đề, vận tốc tại điểm C có tung độ $y$ sẽ được tìm ra bằng định luật bảo toàn cơ năng (chú ý rằng giả thiết bài toán đã bỏ qua ma sát nên cơ năng bảo toàn):
Đầu tiên để cho đơn giản ta sẽ chọn gốc thế năng tại điểm C. Vì tại A vật không có vận tốc đầu nên cơ năng sẽ chỉ gồm thế năng tại đó: $E=mgy$ (ở đây thế năng sẽ được tính theo độ cao tính từ điểm A xuống gốc thế năng C (tưởng tượng như là mặt đất), mà độ cao này lại chính là $y$. Mặt khác cơ năng tại C chỉ bao gồm động năng ( C là gốc nên thế năng bằng 0): $E=\frac{1}{2}mv^2$. Do cơ năng bảo toàn nên ta có:
$$\frac{1}{2}mv^2 = mgy \Rightarrow v^2 = 2gy \Rightarrow v = \sqrt{2gy}$$
Vận tốc này không hề phụ thuộc vào quỹ đạo của đường cong mà chỉ phụ thuộc vào tung độ y của điểm C đang xét. Và đến đây là điểm quan trọng nhất: Chúng ta chia mặt phẳng chứa đường đi của chất điểm thành vô số những dải lớp mỏng nằm ngang.
Chất điểm sẽ lần lượt đi qua hết lớp này đến lớp khác. Và như trên đã nói vận tốc của nó không phụ thuộc vào quỹ đạo đường đi mà chỉ phụ thuộc vào dải lớp mà nó đi qua ( phụ thuộc vào tung độ y)…Các bạn đã thấy tình huống này ở đâu đó chưa? Đúng vậy! Ánh sáng cũng đã gặp tình huống này khi nó đi từ môi trường không khí vào môi trường nước, hai môi trường mà ở trong đó nó chuyển động với vận tốc khác nhau. Và bởi vì ánh sáng luôn đi theo con đường nhanh nhất nên chúng ta sẽ khôn ngoan đi theo ánh sáng, tức là tuân theo định luật khúc xạ. Bài toán cơ học lúc đầu đã bị chuyển thành một bài toán quang học mất rồi! Thật là một ý tưởng tuyệt diệu.
Trên cơ sở đó chúng ta sẽ nhìn bài toán ban đầu trong một bối cảnh khác: ở đó, có một tia sáng muốn đi từ A đến B. Nó phải đi qua một môi trường biến đổi liên tục mà vận tốc của nó thay đổi theo công thức $v=\sqrt{2gy}$. Vậy nó sẽ đi theo đường nào? Và tất nhiên con đường mà ánh sáng sẽ đi chính là con đường ta cần tìm. Đến đây, dù rằng vẫn còn nhiều việc phải làm nhưng bài toán mới này đã đơn giản hơn bài toán ban đầu biết dường nào rồi!
Gọi $v, v', v'', v''', ...$ lần lượt là vận tốc của ánh sáng trong từng lớp liên tiếp, và $\alpha, \alpha ', \alpha '', \alpha ''', ...$ là các góc tới tương ứng của tia sáng khi đến gặp các mặt phân cách (góc tạo bởi tia sáng với trục thẳng đứng). Theo định luật khúc xạ ánh sáng ta có:
$$\frac{sin\alpha}{v} =\frac{sin\alpha '}{v'} = \frac{sin\alpha''}{v''} = \frac{sin\alpha'''}{v'''} = ...$$
Và bởi vì $v$ nhận các giá trị liên tục theo độ sâu (cũng có nghĩa là các dải lớp môi trường của ta có thể cho mỏng đi một cách tùy ý) ta sẽ có: $\frac{sin\alpha}{v} = const \textbf{ (*)}$ dọc theo đường đi của ánh sáng.
Tiếp theo sẽ là một điểm khá tinh tế (dù không khó khăn để tưởng tượng). Đối với các lớp chúng ta đang xét, chẳng hạn lớp trên cùng có vận tốc $v$, mình sẽ cho bề dày của lớp này tiến dần về 0:
Có nghĩa là cho điểm $P$ tiến dần về điểm $R$, lúc này đoạn $PR$ sẽ tiến dần tới tiếp tuyến của đường cong. Như vậy góc $\alpha$ thực chất sẽ là góc tạo bởi tiếp tuyến của đường cong tại $R$ và trục thẳng đứng.
Ta gọi $\beta$ là góc tạo bởi tiếp tuyến tại $R$ và trục nằm ngang. Mọi người học lớp 7 rồi chắc là còn nhớ $\tan\beta$ chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại $R$. Mặt khác, nếu bạn đã học lớp 11 rồi thì sẽ biết luôn rằng hệ số góc của tiếp tuyến thì bằng với đạo hàm của hàm số tại đó, tức là: $\tan\beta = y'$. Mặt khác, hiển nhiên là:
$$\alpha + \beta = 90^o \Rightarrow \sin \alpha = \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1+y'^2}}$$.
Cái này được suy ra từ công thức lượng giác cơ bản: $1 + \tan^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta}$. Kết hợp với $(*)$ và và nhớ lại rằng $v = \sqrt{2gy}$ ta được:
$$const = \frac{\sin \alpha}{v} = \frac{1}{\sqrt{1+y'^2}\sqrt{2gy}} \Rightarrow y(1+y'^2) = const = c$$
Cuối cùng thì ta cũng đi đến được phương trình này (là phương trình mà hàm số $y$ của chúng ta phải thõa mãn):
$$y(1+y'^2) = c \textbf{ (**)}$$
Bấy lâu nay mọi người vẫn thường nói: “Toán học là ông hoàng mà cũng là người đầy tớ của khoa học”. Các bạn có biết vì sao không? Là ông hoàng thì xin không giải thích thêm, còn làm “đầy tớ” thì đây là một minh chứng rõ nét. Vật lý chỉ cần dựa vào lý thuyết của mình rút ra phương trình mà đại lượng nào đó phải thõa mãn. Công việc còn lại giao cho toán học xử lý, nó sẽ giải và tìm xem hàm số ấy là gì?
Tất nhiên phương trình $(**)$ là một phương trình vi phân và ẩn của nó làm một hàm số (hàm số chúng ta cần tìm). Nhiều bạn học sinh vẫn chưa biết giải thì cũng đừng bận tâm, vì nói cho cùng thì những phương trình như vậy đều đã có cách giải sẵn. Và thậm chí bạn có thể tìm ra nghiệm của nó chỉ với một phần mềm tính toán mạnh (Maple chẳng hạn). Hàm số tìm được có đồ thị là một đường cong với tên gọi: Cycloid. Tôi xin phép chỉ mô ta đường cong này một chút mà không viết ra đây công thức hàm số chúng ta tìm được. Nó cũng không hẳn phức tạp, chỉ là nó được viết dưới dạng tham số, mà tôi không muốn bài viết của mình dài thêm nữa.
Cùng tìm hiểu một chút về đường cong Cycloid, bạn có thể dễ dàng tưởng tượng ra hình ảnh của nó. Thật vậy, hãy gắn một điểm sáng vào một cái bánh xe đạp rồi lăn nó đi trong bóng tối. Quỹ đạo của điểm sáng đó cũng chính là hình ảnh của đường cong Cycloid.
Và bây giờ là lúc ta tận hưởng thành quả: Đây là tính toán mô phỏng chuyển động của chất điểm theo những quỹ đạo khác nhau. Các bạn hãy xem:
Các bạn chắc biết đâu là đường Cycloid của mình rồi chứ? Lời cuối cùng xin cảm ơn John Bernouilli với chứng minh tuyệt diệu này. Tôi sẽ không quá cường điệu khi nói rằng việc tìm ra chứng minh đó là một nghệ thuật! Chúng ta đã trải qua hai ’ngữ cảnh’ rất khác nhau: Đầu tiên là cơ học, rồi thoắt một cái nó biến thành bài toán quang học. Và quả thật các bạn đã thấy ở đâu một sự liên hệ độc đáo và thú vị đến như vậy hay chưa?
Theo Ngô Minh Đức
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ban Biên Tập: 21-01-2013 - 20:53
