Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 22-01-2013 - 01:17
Tìm GTNN của:$A=(x-1)(y-1)(z-1)$
Bắt đầu bởi hungpronc1, 22-01-2013 - 00:53
#1
Đã gửi 22-01-2013 - 00:53
hungpronc1
-
- Thành viên
-
- 49 Bài viết
Binh nhất
Cho $x,y,z>1$ và thỏa mãn $xy+yz+zx \ge 2xyz$ ,tìm GTNN của:$$A=(x-1)(y-1)(z-1)$$
#2
Đã gửi 08-02-2013 - 06:30
sogenlun
-
- Thành viên
-
- 105 Bài viết
Trung sĩ
Giả thiết tương đương với :Cho $x,y,z>1$ và thỏa mãn $xy+yz+zx \ge 2xyz$ ,tìm GTNN của:$$A=(x-1)(y-1)(z-1)$$
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \ge 2$$
Suy ra :
$$1-\dfrac{1}{y}+1-\dfrac{1}{z} \le \dfrac{1}{x}$$
Áp dụng BĐT AM-GM có :
$$\dfrac{1}{x} \ge \dfrac{y-1}{y}+\dfrac{z-1}{z} \ge 2\sqrt{\dfrac{(1-y)(1-z)}{yz}}$$
Tương tự :
$$\dfrac{1}{y} \ge 2\sqrt{\dfrac{(1-x)(1-z)}{xz}}$$
$$\dfrac{1}{z} \ge 2\sqrt{\dfrac{(1-x)(1-y)}{xy}}$$
Nhân hết lại sẽ được : $$A \le \dfrac{1}{8}$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$
- caybutbixanh, Mrnhan và provotinhvip thích
Chia sẻ tài liệu ôn thi đại học tại : http://blogtoanli.net
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
