Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển Olympic sinh viên ĐH SPKT Tp.HCM môn Đại số năm 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-01-2013 - 23:10

Lần 1:


Câu 1: Biết rằng A là ma trận không suy biến, B là ma trận khác không sao cho tồn tại tích AB. Chứng minh rằng AB khác không.

Câu 2: Hai ma trận
$A,B \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ được gọi là tương đương nếu tồn tại các ma trận khả nghịch P cấp n và ma trận Q cấp m sao cho $B=QAP$. Kí hiệu $A\sim B$

a) Chứng minh rằng:


$AP\sim A$


$QA\sim A$

b) Với X là ma trận vuông tùy ý. Chứng minh rằng $X$ và $X^{T}$ tương đương với nhau. Trong đó $X^{T}$ là ma trận chuyển vị của $X$

Câu 3: Cho $A_{0},A_{1},\cdots ,A_{m\times n}$ là các ma trận cấp $m\times n$. Chứng minh rằng ta luôn tìm được các số thực $\alpha _{0},\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{m\times n}$ không đồng thời bằng 0 thỏa mãn $\alpha _{0}A_{0}+\alpha _{1}A_{1}+\cdots \alpha _{m\times n}A_{m\times n}=0$

Câu 4: Giả sử $\left \{ u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n} \right \}$ là hệ độc lập tuyến tính trên V và $u=\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}+\cdots +\alpha _{n}u_{n}$. Chứng minh rằng $\left \{ u-u_{1},u-u_{2},\cdots ,u-u_{n} \right \}$ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi $\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\neq 1$
Hình đã gửi



Lần 2:


Câu 1: Cho $A=\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 5 & 1 \end{pmatrix}$. Tính $A^{n}$

Câu 2: Cho $A,B\in M_{n}(\mathbb{R})$ thỏa mãn: A không suy biến, $A^{3}+B+A=BA+A^{2}$ và $\exists r\in \mathbb{N}^{*}$ sao cho $B^{r}=O$

Chứng minh rằng $\det (A+B^{2012})\neq 0$


Câu 3: Một ma trận vuông $M$ được gọi là trực giao nếu $M^{T}M=MM^{T}=I_{n}$.
Chứng minh rằng: mọi ma trận vuông $A$ đều có thể biểu diễn dưới dạng $A=PXQ$, trong đó $P, Q$ là các ma trận trực giao và $X$ là ma trận đối xứng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 23-01-2013 - 01:10

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 23-01-2013 - 00:39

Lần 1:


Câu 1: Biết rằng A là ma trận không suy biến, B là ma trận khác không sao cho tồn tại tích AB. Chứng minh rằng AB khác không.

Câu 2: Hai ma trận
$A,B \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ được gọi là tương đương nếu tồn tại các ma trận khả nghịch P cấp n và ma trận Q cấp m sao cho $B=QAP$. Kí hiệu $A\sim B$

a) Chứng minh rằng





$AP\sim A$


$QA\sim A$

b) Với X là ma trận vuông tùy ý. Chứng minh rằng $X$ và $X^{T}$ tương đương với nhau. Trong đó $X^{T}$ là ma trận chuyển vị của $X$

Câu 3: Cho $A_{0},A_{1},\cdots ,A_{m\times n}$ là các ma trận cấp $m\times n$. Chứng minh rằng ta luôn tìm được các số thực $\alpha _{0},\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{m\times n}$ không đồng thời bằng 0 thỏa mãn $\alpha _{0}A_{0}+\alpha _{1}A_{1}+\cdots \alpha _{m\times n}A_{m\times n}=0$

Câu 4: Giả sử $\left \{ u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n} \right \}$ là hệ độc lập tuyến tính trên V và $u=\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}+\cdots +\alpha _{n}u_{n}$. Chứng minh rằng $\left \{ u-u_{1},u-u_{2},\cdots ,u-u_{n} \right \}$ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi $\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\neq 0$
Hình đã gửi



Chia ra làm hai để tiện theo dõi ^^

Câu 1: A không suy biến, do đó $A$ khả nghịch. Nếu $AB=0 \Rightarrow A^{-1}AB=0 \Leftrightarrow B=0$ mâu thuẫn. Vậy phải có $AB \neq 0$ với $B \neq 0$

Câu 2:

Ta có $A=I_m(AP)P^{-1} \Rightarrow AP \sim A$

$A=Q^{-1} (QA)I_n \Rightarrow QA \sim A$




Câu 3: Không gian $M_{m\times n}$ các ma trận cấp $m \times n$ là một không gian vecto có một cơ sở là họ $(E_i)_{i \in \{1;2;...;m \times n \}}$

với $E_i$ có phần tử thứ $i$ bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0, do đó $dim(M_{m \times n})=m \times n$

Họ $(A_0;A_1;...;A_{m \times n}) $ có $m.n+1$ phần tử, do đó phụ thuộc tuyến tính, suy ra tồn tại các số thực $\alpha _{0},\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{m\times n}$ không đồng thời bằng 0 sao cho $\alpha _{0}A_{0}+\alpha _{1}A_{1}+\cdots \alpha _{m\times n}A_{m\times n}=0$.

Câu 4:

Hình như viết sai đề rồi anh, đề này sai! Lấy ví dụ $\alpha_1=1\;, \alpha_2=...=\alpha_n=0 \Rightarrow u-u_1=0$ do đó $\{u-u_1,u-u_2,...,u-u_n\}$ là phụ thuộc tuyến tính.

Sửa lại chắc phải là $\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n \neq 1 $

Với điều kiện này ta giải như sau.

Với $(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) \in \mathbb{R}^n$,

xét biểu diễn tuyến tính $0=\lambda_1(u-u_1)+\lambda_2(u-u_2)+...+\lambda_n (u-u_n)$

$=(\alpha_1\lambda-\lambda_1)u_1+(\alpha_2\lambda-\lambda_2)u_2+...+(\alpha_n\lambda-\lambda_n)u_n$

với $\lambda=\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n$

do $\{u_1,u_2,...,u_n\}$ độc lập tuyến tính nên

$\alpha_1\lambda=\lambda_1 \; ,\alpha_2\lambda=\lambda_2\;, ..., \alpha_n\lambda=\lambda_n$

Cộng các phương trình này lại với nhau ta được $(\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n)\lambda=\lambda$

Do đó nếu $\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n \neq 1 \Rightarrow \lambda=0 \Rightarrow \lambda_i=0 \;, \forall i \in \{1;2;...n\}$

Suy ra $\{u-u_1,u-u_2,...,u-u_n\}$ độc lập tuyến tính

Chiều ngược lại, tức nếu $\{u-u_1;u-u_2;...;u-u_n\}$ độc lập tuyến tính thì $\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n \neq 1$

Giả sử $\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n = 1$

$ \forall (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) \in \mathbb{R}^n$,

$$\lambda_1(u-u_1)+\lambda_2(u-u_2)+...+\lambda_n (u-u_n)$$

$$=(\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n) u-\alpha_1u_1-\alpha_2u_2-...-\alpha_nu_n=0$$

Suy ra $\{u-u_1;u-u_2;...;u-u_n\}$ phụ thuộc tuyến tính. Vậy phải có $\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n \neq 1 $

..........................................
@vo van duc: Anh viết nhầm thôi. hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 23-01-2013 - 07:27

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#3 anhnt

anhnt

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Đã gửi 24-01-2013 - 10:06

Mình thắc mắc chút, câu 1 ma trận A có phải ma trận vuông không nhỉ. Nếu A không vuông thì có tồn tại ma trận nghịch đảo không, kết quả bài toán này ra sao.

#4 GreatLuke

GreatLuke

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN

Đã gửi 25-01-2013 - 00:16

Lần 2:

Câu 1: Cho $A=\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 5 & 1 \end{pmatrix}$. Tính $A^{n}$

Câu 2: Cho $A,B\in M_{n}(\mathbb{R})$ thỏa mãn: A không suy biến, $A^{3}+B+A=BA+A^{2}$ và $\exists r\in \mathbb{N}^{*}$ sao cho $B^{r}=O$

Chứng minh rằng $\det (A+B^{2012})\neq 0$

Câu 3: Một ma trận vuông $M$ được gọi là trực giao nếu $M^{T}M=MM^{T}=I_{n}$.
Chứng minh rằng: mọi ma trận vuông $A$ đều có thể biểu diễn dưới dạng $A=PXQ$, trong đó $P, Q$ là các ma trận trực giao và $X$ là ma trận đối xứng

Câu 1:
Tính đa thức đặc trưng của $A$ tìm được 2 giá trị riêng là 6 và -4. Chéo hóa $A$.
Câu 2:
Từ giả thiết:$A^{3}+B+A=BA+A^{2}$ ta suy ra $A^{3}=(B+A)(A-I)$.
Vì A khả nghịch nên $I=A^{-3}(B+A)(A-I)$.
Từ đó có $(A-I)A^{-3}(B+A)=I$. nên $(A-I)(B+A)=A^{3}$.
Khai triển ra ta có:$AB-B+A^{2}-A=A^{3}$ nên $AB=BA$.
$det (A+B^{2012})=det(A)det(I+B^{2012}A^{-1})$.
Với $X\in M_{n,1}(\mathbb{R})$ xét hệ phương trình $(I+B^{2012}A^{-1})X=0$.
Tương đương $B^{2012}A^{-1}X=-X$.
$B^{4024}A^{-2}X=X$.
.....
$B^{2012k}A^{-k}X=(-1)^{k}X$.
Với $k$ đủ lớn thì $2012k>r$ nên $B^{2012k}=0$. Từ đó $X=0$.
Phương trình có nghiệm tầm thường nên $\det (A+B^{2012})\neq 0$.
Câu 3:
Đang nghĩ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GreatLuke: 25-01-2013 - 00:57


#5 GreatLuke

GreatLuke

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN

Đã gửi 25-01-2013 - 00:18

Mình thắc mắc chút, câu 1 ma trận A có phải ma trận vuông không nhỉ. Nếu A không vuông thì có tồn tại ma trận nghịch đảo không, kết quả bài toán này ra sao.

Ma trận không suy biến tức là định thức khác 0. mà nó có định thức thì phải là ma trận vuông rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GreatLuke: 25-01-2013 - 00:19





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh