Chủ đề này có 12 trả lời

[khacduongpro_165]

Mặc dù đã có topic ôn thi giải tích, thế nhưng để thuận tiện cho các bạn trao đổi và thảo luận cũng như dễ tìm kiếm các dạng thì mình sẽ tách thành các topic, theo các chuyên đề. Các bạn ôn thi, có bài trao đổi có thể post lên đây!
Lưu ý: Không SPAM!

[khacduongpro_165]

Bài 1: Tím tất cả các hàm $f(x): R\rightarrow R$ thoả mãn:$f(f(x))+f(x)=2012.2013x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 25-01-2013 - 17:33

[vo van duc]

Bài 2: Xác định các hàm số $f(x)$ liên tục và tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ trong khoảng $\left ( -\propto ,+\propto \right )$ sao cho

$f(x)+\sin xf(x+\pi )=\sin ^{2}x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 26-01-2013 - 00:22

[viet 1846]

Bài 1: Tím tất cả các hàm $f(x): R\rightarrow R$ thoả mãn:$f(f(x))+f(x)=2012.2013x$

Con này em nghĩ là dùng sai phân là chuẩn bài nhất.

Xét dãy $\left\{ {{u_n}} \right\}:\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_0} = x\\
{u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)
\end{array} \right.$

Theo đề bài ta có hệ thức truy hồi:


\[\left\{ \begin{array}{l}
{u_0} = x\\
{u_1} = f\left( x \right)\\
{u_{n + 1}} + {u_n} = 2012.2013{u_{n - 1}}
\end{array} \right.\]

Phương trình đặc trưng:


\[{\lambda ^2} + \lambda = 2012.2013 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\lambda = 2012\\
\lambda = -2013
\end{array} \right.\]

Hay \[{u_n} = {c_1}{.2012^n} + {c_2}.{\left( { - 2013} \right)^n}\]

Cho $n=0;1$ ta có:


\[\left\{ \begin{array}{l}
{c_1} + {c_2} = x\\
2012{c_1} - 2013{c_2} = f\left( x \right)
\end{array} \right.\]

Suy ra \[f\left( x \right) = - 2013x + c\]

Hoặc \[f\left( x \right) = 2012x + c\]

thử lại hai hàm thỏa yêu cầu : $f(x)=-2013x \;\;, f(x)=2012x $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 26-01-2013 - 00:38

[viet 1846]

Bài 2: Xác định các hàm số $f(x)$ liên tục và tuần hoàn với chu kỳ $2\Pi$ trong khoảng $\left ( -\propto ,+\propto \right )$ sao cho

$f(x)+\sin xf(x+\Pi )=\sin ^{2}x$

Từ phương trình đầu ta suy ra

\[ \Rightarrow f\left( {x + \pi } \right) + \sin \left( {x + \pi } \right)f\left( {x + 2\pi } \right) = {\sin ^2}\left( {x + \pi } \right)\]

\[ \Rightarrow f\left( {x + \pi } \right) - \sin \left( x \right)f\left( x \right) = {\sin ^2}\left( x \right)\]

Hay ta có hệ:


\[\left\{ \begin{array}{l}
f(x) + \sin xf(x + \pi ) = {\sin ^2}x\\
f\left( {x + \pi } \right) - \sin \left( x \right)f\left( x \right) = {\sin ^2}\left( x \right)
\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{{\sin }^2}x - {{\sin }^3}x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}\]

không biết nhầm đâu không nữa.

[vo van duc]

Bài 3: Đề dự tuyển Đại học Quy Nhơn năm 2011

Xác định tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục sao cho

$\left | f(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})-f(x_{1})-f(x_{2})-...-f(x_{n}) \right |\leq 2011$

với mọi $x_{1};x_{2};...;x_{n}\in \mathbb{R}$

...................................................
Không chuyên phần này nhưng cũng muốn góp vui. hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 26-01-2013 - 00:43

[dtvanbinh]

Bài 1: Tím tất cả các hàm $f(x): R\rightarrow R$ thoả mãn:$f(f(x))+f(x)=2012.2013x$

em không biết gõ công thức toán
vế phải là hàm tuyến tính nên dự đoán $f(x)=ax+b$
thay vào tìm $a, b$
giả sử có hàm $g(x)$ không trùng $f(x)$ c/m bằng phản chứng tồn tại $x_0$ sao cho $g(x_0)=f(x_0)$
nên hàm $f(x)$ trên là hàm duy nhất thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 26-01-2013 - 00:27

[phudinhgioihan]

em không biết gõ công thức toán
vế phải là hàm tuyến tính nên dự đoán $f(x)=ax+b$
thay vào tìm $a, b$
giả sử có hàm $g(x)$ không trùng $f(x)$ c/m bằng phản chứng tồn tại $x_0$ sao cho $g(x_0)=f(x_0)$
nên hàm $f(x)$ trên là hàm duy nhất thỏa mãn

Ý tưởng của bạn đã sai. Sai ở chỗ này "giả sử có hàm $g(x)$ không trùng $f(x)$ c/m bằng phản chứng tồn tại $x_0$ sao cho $g(x_0)=f(x_0)$" . Hàm $g(x)$ không trùng hàm $f(x)$ thì vẫn có thể có vô hạn giá trị $x_0$ để $f(x_0)=g(x_0)$, chỉ cần có duy nhất $x_1$ sao cho $f(x_1)\neq g(x_1)$ thì cũng đủ để $f$ và $g$ khác nhau rồi.

[dtvanbinh]

Ý tưởng của bạn đã sai. Sai ở chỗ này "giả sử có hàm $g(x)$ không trùng $f(x)$ c/m bằng phản chứng tồn tại $x_0$ sao cho $g(x_0)=f(x_0)$" . Hàm $g(x)$ không trùng hàm $f(x)$ thì vẫn có thể có vô hạn giá trị $x_0$ để $f(x_0)=g(x_0)$, chỉ cần có duy nhất $x_1$ sao cho $f(x_1)\neq g(x_1)$ thì cũng đủ để $f$ và $g$ khác nhau rồi.

thì em chứng minh tồn tại x0 để f(x0)=g(x0) mà.từ trước tới h em toàn làm kiểu ấy.chả lẻ sai hệ thống @@

[phudinhgioihan]

thì em chứng minh tồn tại x0 để f(x0)=g(x0) mà.từ trước tới h em toàn làm kiểu ấy.chả lẻ sai hệ thống @@

Sai hệ thống thật em à. Có $x_0$ sao cho $f(x_0)=g(x_0)$ và việc hai hàm $f,g$ không trùng nhau chẳng có bà con gì với nhau cả!

[dtvanbinh]

Sai hệ thống thật em à. Có $x_0$ sao cho $f(x_0)=g(x_0)$ và việc hai hàm $f,g$ không trùng nhau chẳng có bà con gì với nhau cả!

chậc kiến thức nông cạn quá anh có tài liệu gì theo từng chuyên đề không cho em xin với @@

[khacduongpro_165]

Bài 2: cho $f,g$ là 2 hàm khả vi trên $R$.thỏa:

$\frac{f'}{g'}=e^{f-g} $
và: $f(0)=g(2012)=1$
Tìm hằng số $c_{max}$ để: $f(2012)>c$, mọi hàm thỏa mãn DK trên!

[phudinhgioihan]

Bài 2: cho $f,g$ là 2 hàm khả vi trên $R$.thỏa:

$\frac{f'}{g'}=e^{f-g} $
và: $f(0)=g(2012)=1$
Tìm hằng số $c_{max}$ để: $f(2012)>c$, mọi hàm thỏa mãn DK trên!

Hôm nay tự dưng có hứng, xin chém vậy

Ta có :$$\dfrac{f'}{g'}=\dfrac{e^f}{e^g} $$
$$\Leftrightarrow \dfrac{f'}{e^f}=\dfrac{g'}{e^g}$$

$$\Leftrightarrow (\dfrac{1}{e^f})'=(\dfrac{1}{e^g})' $$

$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{e^f}=\dfrac{1}{e^g}+ \lambda \;\;, \lambda \in \mathbb{R} $$

Cho lần lượt $x=0;x=2012 $ và giải hệ ta được $\lambda=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{e^{f(2012)}}-\dfrac{1}{e^{g(0)}})$

Vậy $$\dfrac{1}{e^{f(x)}}=\dfrac{1}{e^{g(x)}}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{e^{f(2012)}}-\dfrac{1}{e^{g(0)}})$$

Suy ra $$\dfrac{1}{e^{f(2012)}}=\dfrac{1}{e}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{e^{f(2012)}}-\dfrac{1}{e^{g(0)}})$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{e^{f(2012)}}=\dfrac{2}{e}-\dfrac{1}{e^{g(0)}} $$

Gọi $F,G$ lần lượt là tập các hàm $f,g$ thỏa giả thiết, ta có

$$\sup_{g \in G}(\dfrac{2}{e}-\dfrac{1}{e^{g(0)}})=\dfrac{2}{e} $$

$$\Rightarrow \inf_{f \in F} e^{f(2012)}=\dfrac{e}{2}$$

$$\Leftrightarrow \inf_{f \in F} f(2012)=1-\ln 2 $$

Vậy $c_{\max}=1-\ln 2 $