Topic PT Hàm ôn thi Olympic sinh viên
#1
Đã gửi 23-01-2013 - 06:24
Lưu ý: Không SPAM!
- viet 1846, zipienie, Hero Bn và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 25-01-2013 - 17:51
#4
Đã gửi 25-01-2013 - 18:41
Bài 1: Tím tất cả các hàm $f(x): R\rightarrow R$ thoả mãn:$f(f(x))+f(x)=2012.2013x$
Con này em nghĩ là dùng sai phân là chuẩn bài nhất.
Xét dãy $\left\{ {{u_n}} \right\}:\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_0} = x\\
{u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)
\end{array} \right.$
Theo đề bài ta có hệ thức truy hồi:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{u_0} = x\\
{u_1} = f\left( x \right)\\
{u_{n + 1}} + {u_n} = 2012.2013{u_{n - 1}}
\end{array} \right.\]
Phương trình đặc trưng:
\[{\lambda ^2} + \lambda = 2012.2013 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\lambda = 2012\\
\lambda = -2013
\end{array} \right.\]
Hay \[{u_n} = {c_1}{.2012^n} + {c_2}.{\left( { - 2013} \right)^n}\]
Cho $n=0;1$ ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{c_1} + {c_2} = x\\
2012{c_1} - 2013{c_2} = f\left( x \right)
\end{array} \right.\]
Suy ra \[f\left( x \right) = - 2013x + c\]
Hoặc \[f\left( x \right) = 2012x + c\]
thử lại hai hàm thỏa yêu cầu : $f(x)=-2013x \;\;, f(x)=2012x $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 26-01-2013 - 00:38
#5
Đã gửi 25-01-2013 - 18:53
Bài 2: Xác định các hàm số $f(x)$ liên tục và tuần hoàn với chu kỳ $2\Pi$ trong khoảng $\left ( -\propto ,+\propto \right )$ sao cho
$f(x)+\sin xf(x+\Pi )=\sin ^{2}x$
Từ phương trình đầu ta suy ra
\[ \Rightarrow f\left( {x + \pi } \right) + \sin \left( {x + \pi } \right)f\left( {x + 2\pi } \right) = {\sin ^2}\left( {x + \pi } \right)\]
\[ \Rightarrow f\left( {x + \pi } \right) - \sin \left( x \right)f\left( x \right) = {\sin ^2}\left( x \right)\]
Hay ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
f(x) + \sin xf(x + \pi ) = {\sin ^2}x\\
f\left( {x + \pi } \right) - \sin \left( x \right)f\left( x \right) = {\sin ^2}\left( x \right)
\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{{\sin }^2}x - {{\sin }^3}x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}\]
không biết nhầm đâu không nữa.
- phudinhgioihan yêu thích
#6
Đã gửi 25-01-2013 - 20:25
Xác định tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục sao cho
$\left | f(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})-f(x_{1})-f(x_{2})-...-f(x_{n}) \right |\leq 2011$
với mọi $x_{1};x_{2};...;x_{n}\in \mathbb{R}$
...................................................
Không chuyên phần này nhưng cũng muốn góp vui. hi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 26-01-2013 - 00:43
- viet 1846 yêu thích
#7
Đã gửi 25-01-2013 - 23:51
em không biết gõ công thức toánBài 1: Tím tất cả các hàm $f(x): R\rightarrow R$ thoả mãn:$f(f(x))+f(x)=2012.2013x$
vế phải là hàm tuyến tính nên dự đoán $f(x)=ax+b$
thay vào tìm $a, b$
giả sử có hàm $g(x)$ không trùng $f(x)$ c/m bằng phản chứng tồn tại $x_0$ sao cho $g(x_0)=f(x_0)$
nên hàm $f(x)$ trên là hàm duy nhất thỏa mãn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 26-01-2013 - 00:27
$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$
$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$
#8
Đã gửi 26-01-2013 - 00:41
em không biết gõ công thức toán
vế phải là hàm tuyến tính nên dự đoán $f(x)=ax+b$
thay vào tìm $a, b$
giả sử có hàm $g(x)$ không trùng $f(x)$ c/m bằng phản chứng tồn tại $x_0$ sao cho $g(x_0)=f(x_0)$
nên hàm $f(x)$ trên là hàm duy nhất thỏa mãn
Ý tưởng của bạn đã sai. Sai ở chỗ này "giả sử có hàm $g(x)$ không trùng $f(x)$ c/m bằng phản chứng tồn tại $x_0$ sao cho $g(x_0)=f(x_0)$" . Hàm $g(x)$ không trùng hàm $f(x)$ thì vẫn có thể có vô hạn giá trị $x_0$ để $f(x_0)=g(x_0)$, chỉ cần có duy nhất $x_1$ sao cho $f(x_1)\neq g(x_1)$ thì cũng đủ để $f$ và $g$ khác nhau rồi.
#9
Đã gửi 26-01-2013 - 16:43
thì em chứng minh tồn tại x0 để f(x0)=g(x0) mà.từ trước tới h em toàn làm kiểu ấy.chả lẻ sai hệ thống @@Ý tưởng của bạn đã sai. Sai ở chỗ này "giả sử có hàm $g(x)$ không trùng $f(x)$ c/m bằng phản chứng tồn tại $x_0$ sao cho $g(x_0)=f(x_0)$" . Hàm $g(x)$ không trùng hàm $f(x)$ thì vẫn có thể có vô hạn giá trị $x_0$ để $f(x_0)=g(x_0)$, chỉ cần có duy nhất $x_1$ sao cho $f(x_1)\neq g(x_1)$ thì cũng đủ để $f$ và $g$ khác nhau rồi.
$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$
$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$
#10
Đã gửi 27-01-2013 - 02:22
thì em chứng minh tồn tại x0 để f(x0)=g(x0) mà.từ trước tới h em toàn làm kiểu ấy.chả lẻ sai hệ thống @@
Sai hệ thống thật em à. Có $x_0$ sao cho $f(x_0)=g(x_0)$ và việc hai hàm $f,g$ không trùng nhau chẳng có bà con gì với nhau cả!
#11
Đã gửi 27-01-2013 - 15:20
chậc kiến thức nông cạn quá anh có tài liệu gì theo từng chuyên đề không cho em xin với @@Sai hệ thống thật em à. Có $x_0$ sao cho $f(x_0)=g(x_0)$ và việc hai hàm $f,g$ không trùng nhau chẳng có bà con gì với nhau cả!
$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$
$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$
#12
Đã gửi 06-03-2013 - 15:29
$\frac{f'}{g'}=e^{f-g} $
và: $f(0)=g(2012)=1$
Tìm hằng số $c_{max}$ để: $f(2012)>c$, mọi hàm thỏa mãn DK trên!
#13
Đã gửi 06-03-2013 - 17:23
Bài 2: cho $f,g$ là 2 hàm khả vi trên $R$.thỏa:
$\frac{f'}{g'}=e^{f-g} $
và: $f(0)=g(2012)=1$
Tìm hằng số $c_{max}$ để: $f(2012)>c$, mọi hàm thỏa mãn DK trên!
Hôm nay tự dưng có hứng, xin chém vậy
Ta có :$$\dfrac{f'}{g'}=\dfrac{e^f}{e^g} $$
$$\Leftrightarrow \dfrac{f'}{e^f}=\dfrac{g'}{e^g}$$
$$\Leftrightarrow (\dfrac{1}{e^f})'=(\dfrac{1}{e^g})' $$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{e^f}=\dfrac{1}{e^g}+ \lambda \;\;, \lambda \in \mathbb{R} $$
Cho lần lượt $x=0;x=2012 $ và giải hệ ta được $\lambda=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{e^{f(2012)}}-\dfrac{1}{e^{g(0)}})$
Vậy $$\dfrac{1}{e^{f(x)}}=\dfrac{1}{e^{g(x)}}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{e^{f(2012)}}-\dfrac{1}{e^{g(0)}})$$
Suy ra $$\dfrac{1}{e^{f(2012)}}=\dfrac{1}{e}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{e^{f(2012)}}-\dfrac{1}{e^{g(0)}})$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{e^{f(2012)}}=\dfrac{2}{e}-\dfrac{1}{e^{g(0)}} $$
Gọi $F,G$ lần lượt là tập các hàm $f,g$ thỏa giả thiết, ta có
$$\sup_{g \in G}(\dfrac{2}{e}-\dfrac{1}{e^{g(0)}})=\dfrac{2}{e} $$
$$\Rightarrow \inf_{f \in F} e^{f(2012)}=\dfrac{e}{2}$$
$$\Leftrightarrow \inf_{f \in F} f(2012)=1-\ln 2 $$
Vậy $c_{\max}=1-\ln 2 $
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh