Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $ a,b,c,d $ là các số thực thỏa mãn $ \frac{1}{2}\leq a,b,c,d\leq 2 $ và $ abcd=1 $

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
Cho $ a,b,c,d $ là các số thực thỏa mãn $ \frac{1}{2}\leq a,b,c,d\leq 2 $ và $ abcd=1 $.Tìm GTLN của
\[ \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{d}\right)\left(d+\frac{1}{a}\right). \]

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#2
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết

Cho $ a,b,c,d $ là các số thực thỏa mãn $ \frac{1}{2}\leq a,b,c,d\leq 2 $ và $ abcd=1 $.Tìm GTLN của
\[ \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{d}\right)\left(d+\frac{1}{a}\right). \]

Đặt biểu thức đã cho là $S$ thì:
$$S=\dfrac{(ab+1)(bc+1)(ca+1)(ad+1)}{abcd}=(ab+1)(bc+1)(cd+1)(da+1)$$
Ta nhận thấy: Khi khai triển ra thì $S$ là tam thức bậc hai ứng với mỗi ẩn $a,b,c,d$, cho nên $S$ đạt giá trị cực đại tại biên, tức $S$ đạt giá trị cực đại khi:
$$\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{1}{2}\cup a=2\\b=\dfrac{1}{2}\cup b=2\\c=\dfrac{1}{2}\cup c=2\\d=\dfrac{1}{2}\cup d=2 \end{matrix} \right.$$
Lại do giả thiết $abcd=1$ nên $S$ đạt GTLN khi và chỉ khi hai số bằng $2$, hai số bằng $\dfrac{1}{2}$.
Khi đó $S_{max}=25\ \square$
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#3
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết

Đặt biểu thức đã cho là $S$ thì:
$$S=\dfrac{(ab+1)(bc+1)(ca+1)(ad+1)}{abcd}=(ab+1)(bc+1)(cd+1)(da+1)$$
Ta nhận thấy: Khi khai triển ra thì $S$ là tam thức bậc hai ứng với mỗi ẩn $a,b,c,d$, cho nên $S$ đạt giá trị cực đại tại biên, tức $S$ đạt giá trị cực đại khi:
$$\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{1}{2}\cup a=2\\b=\dfrac{1}{2}\cup b=2\\c=\dfrac{1}{2}\cup c=2\\d=\dfrac{1}{2}\cup d=2 \end{matrix} \right.$$
Lại do giả thiết $abcd=1$ nên $S$ đạt GTLN khi và chỉ khi hai số bằng $2$, hai số bằng $\dfrac{1}{2}$.
Khi đó $S_{max}=25\ \square$

lời giải naỳ sai rồi

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#4
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
Ta có \[ (ab+1)(bc+1)(cd+1)(da+1)=(2+ab+cd)(2+ad+bc)=(2+ab+\frac{1}{ab})(2+ad+\frac{1}{ad}). \]
giả sử $ ac\le 1 $ và $ b\ge d $ do $ bd=\frac{1}{ac} $
nên \[ b,d\in [\frac{1}{2ac}, 2] \]
dễ thấy GTLN nếu $ b,d $ max
nên $ \{b,d\}=\{2,\frac{1}{2ac}\} $
$\geq$ \[ (2+ab+\frac{1}{ab})(2+ad+\frac{1}{ad})\le (2+2a+\frac{1}{2a})(2+\frac{1}{2c}+2c). \]
Đặt $ m=2a,n=2c $ thì$ m,n\in[1,mn] $ và $ mn\le 4 $
nên \[ (2+m+\frac{1}{m})(2+n+\frac{1}{n})\le (2+1+\frac{1}{1})(2+mn+\frac{1}{mn})=4(2+mn+\frac{1}{mn})\le 4(2+4+\frac{1}{4})=25. \]

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#5
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết

lời giải naỳ sai rồi

Toán là có chứng cứ. Lời giải này sai ở đâu nhỉ?
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#6
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết

Toán là có chứng cứ. Lời giải này sai ở đâu nhỉ?

lời giải không rõ ràng khó hiểu

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#7
no matter what

no matter what

    Why not me

  • Thành viên
  • 397 Bài viết

lời giải không rõ ràng khó hiểu

mình nghĩ là bạn chẳng hiểu gì cả thì phải?

#8
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết

lời giải không rõ ràng khó hiểu


Khó hiểu và sai là hoàn toàn khác nhau!
Lời giải trên đúng là sai thật, nhưng mà thử tìm chỗ sai xem?
Nếu ko tìm ra thì t2 sẽ post lỗi sai ở đâu ^_^
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#9
khaivan1997

khaivan1997

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khaivan1997: 10-07-2013 - 18:32


#10
khaivan1997

khaivan1997

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

 

tks các bạn






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh