Đến nội dung

Hình ảnh

Cho A là ma trận lũy linh, chứng minh $A^{n}=0$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1
letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
Bài 1: Cho A là ma trận lũy linh, chứng minh $A^{n}=0$
Bài 2: Cho x là số thực dương, hỏi tồn tại hay không ma trận vuông thực cấp 2 sao cho
$A^{2004}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0&-1-x \end{pmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 25-01-2013 - 21:58

Tào Tháo


#2
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết
Bài 2 của em có thể tham khảo tại: http://diendantoanho...009-endbmatrix/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 24-01-2013 - 22:18

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#3
phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết

Bài 1:cho A là ma trận lũy linh, chứng minh $A^{n}=0$

Gọi $p$ là đa thức đặc trưng của $A$, khi đó $p(A)=0$

Do $A$ lũy linh nên tồn tại $k \in \mathbb{N}^*$ sao cho $A^k=0$

Nếu $k \le n$ thì hiển nhiên $A^n=0$
Nếu $k>n$, khi đó $A$ là nghiệm của đa thức $q(x)=x^k$ , suy ra UCLN của $p$ và $q$ có dạng $r(x)=x^r \;\;, r \in \mathbb{N}^*$ , hơn nữa, do $deg p =n$ nên $deg r \le n$. Vậy luôn có $A^n=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 24-01-2013 - 23:34

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#4
letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
anh có thể nói rõ hơn phần khi k>n, khi k<=n thì hiển nhiên đúng, nhưng khi k>n em chưa rõ p là gì

Tào Tháo


#5
phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết

anh có thể nói rõ hơn phần khi k>n, khi $k \le n$ thì hiển nhiên đúng, nhưng khi k>n em chưa rõ p là gì


Ở trên đã ghi rất rõ $p$ là đa thức đặc trưng của $A$ rồi mà. Thường thì người ta hay ký hiệu đa thức là $p(x),p(y),p(t),...$ nhầm chỉ rõ đa thức theo biến $x,y,t,...$, còn ghi $P,Q,R,S,T...$ khi không cần chỉ rõ $P,Q,R,...$ theo biến gì

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#6
cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Bài 1: Cho A là ma trận lũy linh, chứng minh $A^{n}=0$
Bài 2: Cho x là số thực dương, hỏi tồn tại hay không ma trận vuông thực cấp 2 sao cho
$A^{2004}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0&-1-x \end{pmatrix}$

Bài 1 là bài thi cuối kì của mình.
Mình đã làm thế này
$A$=tổng trực tiếp $J_i$
Trong đó $J_i$ là ma trận Jordan cấp nhỏ hơn hoặc bằng n
Ma trận Jordan đó có dãy 1 nằm trên đường chéo phụ phía trên đường chéo chính


\[\left[ \begin{matrix}
0 & 1 & {} & 0 \\
{} & 0 & 1 & {} \\
{} & {} & ... & 1 \\
0 & {} & {} & 0 \\
\end{matrix} \right]\]
Chéo 1 này không nhất thiết nằm ở vị trí đó nhé.Chỉ cần nằm khác đường chéo chính thôi.
Vì $A^n$=tổng trực tiếp của các$ {J_{i}}^{n}$
Mà các ${J_{i}}^n$ đều bằng ma trận 0 (Cm theo quy nạp)
Vậy $A^n=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 31-01-2013 - 18:19


#7
GreatLuke

GreatLuke

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
Nếu sử dụng tính chất tam giác hoá được của các ma trận có đa thức đặc trưng tách được thì ta có chứng minh như sau:

Gọi $k$ là chỉ số luỹ linh của $A$ thì $P(x)=x^{k}$ là đa thức triệt tiêu của $A$. Vì $P(x)$ tách được nên $A$ tam giác hoá được.

Khi đó $A=PDP^{-1}$ trong đó $D$ là ma trận tam giác trên hoặc dưới. Và $A^n=PD^{n}P^{-1}$

Bằng phép nhân ma trận, dễ dàng kiểm tra rằng $\forall D$ là ma trận tam giác thì $D^{n}=0$ nên $A^{n}=0$.

#8
cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Nếu sử dụng tính chất tam giác hoá được của các ma trận có đa thức đặc trưng tách được thì ta có chứng minh như sau:

Gọi $k$ là chỉ số luỹ linh của $A$ thì $P(x)=x^{k}$ là đa thức triệt tiêu của $A$. Vì $P(x)$ tách được nên $A$ tam giác hoá được.

Khi đó $A=PDP^{-1}$ trong đó $D$ là ma trận tam giác trên hoặc dưới. Và $A^n=PD^{n}P^{-1}$

Bằng phép nhân ma trận, dễ dàng kiểm tra rằng $\forall D$ là ma trận tam giác thì $D^{n}=0$ nên $A^{n}=0$.

Tam giác hóa bạn nói đến có phải là Schur không.Nếu thế thì chỉ đúng với C thôi.Không đúng với R.:)

#9
GreatLuke

GreatLuke

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
Mình không nói là mọi ma trận thực đều tam giác hóa được. Nhưng ma trận lũy linh thì tam giác hóa được. Lý do thì như mình đã nói ở trên

#10
babymath

babymath

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

Nếu $k>n$, khi đó $A$ là nghiệm của đa thức $q(x)=x^k$ , suy ra UCLN của $p$ và $q$ có dạng $r(x)=x^r \;\;, r \in \mathbb{N}^*$ , hơn nữa, do $deg p =n$ nên $deg r \le n$. Vậy luôn có $A^n=0$

Bạn giải thích chỗ này cho mình được không?
Cho ma trận $$N=\left(\begin{matrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{matrix}\right)$$ Khi đó $N$ là lũy linh vì $N^4=0$
Nhưng $N^3\neq 0,\; N^2\neq 0$
$$N^2=\left(\begin{matrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babymath: 24-02-2013 - 13:41


#11
olm at

olm at

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Bạn giải thích chỗ này cho mình được không?
Cho ma trận $$N=\left(\begin{matrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{matrix}\right)$$ Khi đó $N$ là lũy linh vì $N^4=0$
Nhưng $N^3\neq 0,\; N^2\neq 0$
$$N^2=\left(\begin{matrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right)$$


n ở đây là ma trận cấp n đó bạn

#12
babymath

babymath

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
Mình không hiểu từ chỗ ''$q(x)=x^k$ , suy ra UCLN của $p$ và $q$ có dạng $r(x)=x^r \;\;, r \in \mathbb{N}^*$ , hơn nữa, do $deg p =n$ nên $deg r \le n$'' sao lại suy ra $A^n=0$
Bạn chỉ giúp chỗ này với

#13
letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
Đại số tuyến tính có những khái niệm mà trong giáo trình không có, nếu như không được ôn thì cũng chẳng hiểu là gì, mình cũng chưa hiểu lắm

Tào Tháo


#14
GreatLuke

GreatLuke

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết

Mình không hiểu từ chỗ ''$q(x)=x^k$ , suy ra UCLN của $p$ và $q$ có dạng $r(x)=x^r \;\;, r \in \mathbb{N}^*$ , hơn nữa, do $deg p =n$ nên $deg r \le n$'' sao lại suy ra $A^n=0$
Bạn chỉ giúp chỗ này với

Bạn có thể hiểu thế này: Nếu $q(x)=x^k$ thì tất cả các giá trị riêng của $A$ là nghiệm của $q(x)$. Do vậy $A$ sẽ có các giá trị riêng $\lambda_{i}=0 \forall i$. $p(x)$ là đa thức đặc trưng của $A$ thì $p(x)=\prod_{i=0}^{n}(x-\lambda_{i})=x^n$. Theo định lý $Cayley-Hamilton$ thì $p(A)=0$ nên $A^n=0$

#15
babymath

babymath

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

Bạn có thể hiểu thế này: Nếu $q(x)=x^k$ thì tất cả các giá trị riêng của $A$ là nghiệm của $q(x)$.

Chỗ này thế nào hả bạn? $A^k=0$ sao lại suy ra các trị riêng của $A$ là $\lambda=0 $?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babymath: 28-02-2013 - 00:30


#16
GreatLuke

GreatLuke

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
Bạn thử chứng minh định lý này xem: Nếu $P(X)$ là 1 đa thức sao cho $P(A)=0$ thì tập giá trị riêng của ma trận $A \subset$ tập nghiệm của $P(X)$.

#17
babymath

babymath

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
Phần đa thức mình không rõ lắm.Bạn phác qua các bước chứng minh cho mình với

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babymath: 28-02-2013 - 00:50





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh