Bài 2: Cho x là số thực dương, hỏi tồn tại hay không ma trận vuông thực cấp 2 sao cho
$A^{2004}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0&-1-x \end{pmatrix}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 25-01-2013 - 21:58
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 25-01-2013 - 21:58
Tào Tháo
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 24-01-2013 - 22:18
Gọi $p$ là đa thức đặc trưng của $A$, khi đó $p(A)=0$Bài 1:cho A là ma trận lũy linh, chứng minh $A^{n}=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 24-01-2013 - 23:34
Tào Tháo
anh có thể nói rõ hơn phần khi k>n, khi $k \le n$ thì hiển nhiên đúng, nhưng khi k>n em chưa rõ p là gì
Bài 1 là bài thi cuối kì của mình.Bài 1: Cho A là ma trận lũy linh, chứng minh $A^{n}=0$
Bài 2: Cho x là số thực dương, hỏi tồn tại hay không ma trận vuông thực cấp 2 sao cho
$A^{2004}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0&-1-x \end{pmatrix}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 31-01-2013 - 18:19
Tam giác hóa bạn nói đến có phải là Schur không.Nếu thế thì chỉ đúng với C thôi.Không đúng với R.Nếu sử dụng tính chất tam giác hoá được của các ma trận có đa thức đặc trưng tách được thì ta có chứng minh như sau:
Gọi $k$ là chỉ số luỹ linh của $A$ thì $P(x)=x^{k}$ là đa thức triệt tiêu của $A$. Vì $P(x)$ tách được nên $A$ tam giác hoá được.
Khi đó $A=PDP^{-1}$ trong đó $D$ là ma trận tam giác trên hoặc dưới. Và $A^n=PD^{n}P^{-1}$
Bằng phép nhân ma trận, dễ dàng kiểm tra rằng $\forall D$ là ma trận tam giác thì $D^{n}=0$ nên $A^{n}=0$.
Bạn giải thích chỗ này cho mình được không?Nếu $k>n$, khi đó $A$ là nghiệm của đa thức $q(x)=x^k$ , suy ra UCLN của $p$ và $q$ có dạng $r(x)=x^r \;\;, r \in \mathbb{N}^*$ , hơn nữa, do $deg p =n$ nên $deg r \le n$. Vậy luôn có $A^n=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babymath: 24-02-2013 - 13:41
Bạn giải thích chỗ này cho mình được không?
Cho ma trận $$N=\left(\begin{matrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{matrix}\right)$$ Khi đó $N$ là lũy linh vì $N^4=0$
Nhưng $N^3\neq 0,\; N^2\neq 0$
$$N^2=\left(\begin{matrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right)$$
Tào Tháo
Bạn có thể hiểu thế này: Nếu $q(x)=x^k$ thì tất cả các giá trị riêng của $A$ là nghiệm của $q(x)$. Do vậy $A$ sẽ có các giá trị riêng $\lambda_{i}=0 \forall i$. $p(x)$ là đa thức đặc trưng của $A$ thì $p(x)=\prod_{i=0}^{n}(x-\lambda_{i})=x^n$. Theo định lý $Cayley-Hamilton$ thì $p(A)=0$ nên $A^n=0$Mình không hiểu từ chỗ ''$q(x)=x^k$ , suy ra UCLN của $p$ và $q$ có dạng $r(x)=x^r \;\;, r \in \mathbb{N}^*$ , hơn nữa, do $deg p =n$ nên $deg r \le n$'' sao lại suy ra $A^n=0$
Bạn chỉ giúp chỗ này với
Chỗ này thế nào hả bạn? $A^k=0$ sao lại suy ra các trị riêng của $A$ là $\lambda=0 $?Bạn có thể hiểu thế này: Nếu $q(x)=x^k$ thì tất cả các giá trị riêng của $A$ là nghiệm của $q(x)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babymath: 28-02-2013 - 00:30
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babymath: 28-02-2013 - 00:50
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh