Tìm max: $\sqrt{x-x^3}$+$\sqrt{x+x^3}$ biết 0$\leq$x$\leq$1
Tìm max: $\sqrt{x-x^3}$+$\sqrt{x+x^3}$ biết 0$\leq$x$\leq$1
Bắt đầu bởi hoangtubatu955, 24-01-2013 - 22:12
#1
Đã gửi 24-01-2013 - 22:12
hoangtubatu955
-
- Thành viên
-
- 429 Bài viết
Sĩ quan
- langtuthattinh, The gunners và trandaiduongbg thích
#2
Đã gửi 25-01-2013 - 13:23
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 690 Bài viết
Thiếu úy
Đặt $\sqrt{1-x^4}$=a thì x=$\sqrt[4]{1-y^2}$. Ta có:$A^2=2x+2\sqrt{x^2-x^6}=2x+2x\sqrt{1-x^4}=2x(y+1)=2\sqrt[4]{1-y^2}(1+y)\Rightarrow A^8=16(1-y^2)(1+y)^4=16(1-y)(1+y)^5=\frac{16}{5}(5-5y)(1+y)(1+y)(1+y)(1+y)(1+y)\leq \frac{16}{5}(\frac{5-5y+1+y+1+y+1+y+1+y+1+y}{6})^6=\frac{16}{5}(\frac{5}{3})^6=\frac{16.5^5}{3^6}$. Suy ra $A\leq \sqrt[8]{\frac{16.5^5}{3^6}}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\sqrt[4]{\frac{5}{9}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 25-01-2013 - 15:29
- Yagami Raito, langtuthattinh, nguyencuong123 và 2 người khác yêu thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#3
Đã gửi 25-01-2013 - 19:57
hoangtubatu955
-
- Thành viên
-
- 429 Bài viết
Sĩ quan
sai rồi bạn kìaĐặt $\sqrt{1-x^4}$=a thì x=$\sqrt[4]{1-y^2}$. Ta có:$A^2=2x+2\sqrt{x^2-x^6}=2x+2x\sqrt{1-x^4}=2x(y+1)=2\sqrt[4]{1-y^2}(1+y)\Rightarrow A^8=16(1-y^2)(1+y)^4=16(1-y)(1+y)^5=\frac{16}{5}(5-5y)(1+y)(1+y)(1+y)(1+y)(1+y)\leq \frac{16}{5}(\frac{5-5y+1+y+1+y+1+y+1+y+1+y}{6})^6=\frac{16}{5}(\frac{5}{3})^6=\frac{16.5^5}{3^6}$. Suy ra $A\leq \sqrt[8]{\frac{16.5^5}{3^6}}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\sqrt[4]{\frac{5}{9}}$
nếu bạn lấy x=1 thì A=$\sqrt{2}$
- langtuthattinh và The gunners thích
#4
Đã gửi 25-01-2013 - 19:58
hoangtubatu955
-
- Thành viên
-
- 429 Bài viết
Sĩ quan
#5
Đã gửi 25-01-2013 - 21:35
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 690 Bài viết
Thiếu úy
Bạn ơi, $\sqrt{2}< \sqrt[8]{\frac{16.5^5}{3^6}}$ bạn nhé. Không tin lấy máy tính ra mà bấmsai rồi bạn kìa
nếu bạn lấy x=1 thì A=$\sqrt{2}$
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#6
Đã gửi 21-07-2013 - 00:46
donghaidhtt
-
- Thành viên
-
- 494 Bài viết
Sĩ quan
Tìm max: $\sqrt{x-x^3}$+$\sqrt{x+x^3}$ biết 0$\leq$x$\leq$1
THPT:
Đặt $f(x)=\sqrt{x-x^3}$+$\sqrt{x+x^3}$
Đạo hàm $f'(x)=\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt{x-x^3}}+\dfrac{1+3x^2}{2\sqrt{x+x^3}},\forall x\in (0;1)$
$f'(x)=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1-3x^2}{2\sqrt{x-x^3}}+\dfrac{1+3x^2}{2\sqrt{x+x^3}}=0$
$\Leftrightarrow (1-3x^2)\sqrt{x+x^3}+(1+3x^2)\sqrt{x-x^3}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+x^3}+\sqrt{x-x^3}=3x^2(\sqrt{x+x^3}-\sqrt{x-x^3})$
$\Leftrightarrow 3x^2(x+x^3-x+x^3)=(\sqrt{x+x^3}+\sqrt{x-x^3})^2$
$\Leftrightarrow 6x^5=2x+2x\sqrt{1-x^4}$
$\Leftrightarrow 3x^4-1=\sqrt{1-x^4}$
$\Leftrightarrow x=\sqrt[4]{\frac{5}{9}}$
Dựa vào bảng biến thiên ta có $f_{max}=f_{(\sqrt[4]{\dfrac{5}{9}})}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 21-07-2013 - 00:50
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
