Câu 4:
Xét định thức cấp n
$D_{n}=\begin{vmatrix} -b & -b & -b & \cdots & -b & -b \\ a & -b & -b & \cdots & -b & -b \\ b & a & -b & \cdots & -b & -b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & -b & -b \\ b & b & b & \cdots & a & b \end{vmatrix}$
Thay cột 1 bằng cột 1 cộng cột n, ta có
$D_{n}=\begin{vmatrix} a-b & -b & -b & \cdots & -b & -b \\ 0 & -b & -b & \cdots & -b & -b \\ 0 & a & -b & \cdots & -b & -b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & b & b & \cdots & -b & -b \\ a+b & b & b & \cdots & a & b \end{vmatrix}$
$=(a-b).D_{n-1} + (a+b).(-1)^{n+1}.D$
Với $D=\begin{vmatrix} -b & -b & -b & \cdots & -b & -b \\ a & -b & -b & \cdots & -b & -b \\ b & a & -b & \cdots & -b & -b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & -b & -b \\ b & b & b & \cdots & a & -b \end{vmatrix}_{n-1}$
$=\begin{vmatrix} -b & -b & -b & \cdots & -b & -b \\ a+b & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 2b & a+b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 2b & 2b & 2b & \cdots & 0 & 0 \\ 2b & 2b & 2b & \cdots & a+b & 0 \end{vmatrix}_{n-1}$
$=(-b).(-1)^{n}.(a+b)^{n-2}$
Vậy $D_{n}=(a-b).D_{n-1}+b.(a+b)^{n-1}$
Ta có:
$D_{1}=a=\frac{1}{2}.\left [ (a-b)^{1} + (a+b)^{1} \right ]$
$D_{2}=a^{2}+b^{2}=\frac{1}{2}.\left [ (a-b)^{2} + (a+b)^{2} \right ]$
Dự đoán $D_{n}=\frac{1}{2}.\left [ (a-b)^{n} + (a+b)^{n} \right ] (*)$
Thật vậy. Ta chứng minh $(*)$ bằng quy nạp.
Giả sử $(*)$ đúng với $n=k$, tức là $D_{k}=\frac{1}{2}.\left [ (a-b)^{k} + (a+b)^{k} \right ]$
Ta có
$D_{k+1}=(a-b).D_{k}+b.(a+b)^{k}$
$=(a-b).\frac{1}{2}.\left [ (a-b)^{k}+(a+b)^{k} \right ] +b.(a+b)^{k}$
$=\frac{1}{2}.(a-b)^{k+1}+ \frac{1}{2}.(a-b).(a+b)^{k}+ b.(a+b)^{k}$
$=\frac{1}{2}.(a-b)^{k+1}+\left [ \frac{1}{2}.(a-b)+b \right ].(a+b)^{k}$
$=\frac{1}{2}.\left [ (a-b)^{k+1} + (a+b)^{k+1} \right ]$
Vậy $(*)$ đúnh với $n=k+1$.
Theo nguyên lý quy nạp thì ta chứng minh được
$D_{n}=\frac{1}{2}.\left [ (a-b)^{n} + (a+b)^{n} \right ]$
Thay $n=2013$ ta có đáp số của đề.
..........................
Soạn trên dđ nên chắc có sai sót. phudinhgioihan sửa lại giúp anh với nha! hi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 30-01-2013 - 09:52