Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình nghiệm nguyên $\overline{abc}=a^{3}+b^{3}+c^{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
Bài toán: Giải phương trình nghiệm nguyên $\overline{abc}=a^{3}+b^{3}+c^{3}$.
Spoiler

Thích ngủ.


#2
tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết

Bài toán: Giải phương trình nghiệm nguyên $\overline{abc}=a^{3}+b^{3}+c^{3}$.

Spoiler

Có thể áp dụng hằng đẳng thức : $a^{3} + b^{3} + c^{3} = \left ( a + b + c \right )^{3} - 3\left ( a + b \right )\left ( b + c \right )\left ( c + a \right )$.
P/s : Không chắc lắm. :unsure:

#3
MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
Tìm không ra răng không hỏi chị :icon6:
Đây là lời giải của nthoangcute:
Xét $a=1$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=99+10b+c\leq 99+90+9=198 \to 0 \leq b,c \leq 5.$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-99=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-108=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-111=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-102=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-75=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $(c-3)(c^2+3c+8)=0$. Suy ra $c=3$

Xét $a=2$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=192+10b+c\leq 192+90+9=291 \to 0 \leq b,c \leq 6.$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-192=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-201=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-204=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-195=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-168=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-117=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-36=0$. PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=3$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=273+10b+c\leq 273+90+9=372 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-273=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-282=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-285=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-276=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-249=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-198=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-117=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c(c+1)(c-1)=0$. Suy ra $c=0$ hoặc $c=1$

Xét $a=4.$ Khi đó ta có: $b^3+c^3=336+10b+c\leq 336+90+9=435 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Nếu $b=0$ thì $(c-7)(c^2+7c+48)=0.$ Suy ra $c=7$
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-273=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-345=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-348=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-339=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-261=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-180=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=7$ thì $c^3-c-63=0$. PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=5$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=375+10b+c\leq 375+90+9=474 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-375=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-384=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-387=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-378=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-351=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-300=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-219=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=7$ thì $c^3-c-102=0$. PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=6$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=384+10b+c \to 9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-384 \to b$ chẵn.
$b^3+c^3=384+10b+c \leq 483 suy ra 0 \leq b \leq 7$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-384=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-396=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-360=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-228=0.$ PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=7$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=357+10b+c\leq 357+90+9=456 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Cũng từ đó ta có:$ 9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-357$ suy ra $b$ lẻ
Nếu $ b=1$ thì $c^3-c-366=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $ b=3$ thì $c^3-c-360=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-282=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=7$ thì $c^3-c-84=0.$ PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=8$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=288+10b+c\leq 288+90+9=387 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Cũng từ đó ta có: $9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-288$ suy ra $ b$ chẵn
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-288=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-300=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-264=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-132=0.$ PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=9$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=171+10b+c\leq 171+90+9=270 \to 0 \leq b,c \leq 6.$
Cũng từ đó ta có: $9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-171$ suy ra $b $ lẻ
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-180=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-174=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-96=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Tóm lại, ta tìm được $(a,b,c)=(1,5,3);(3,7,0);(3,7,1);(4,0,7)$
Thử lại thấy thỏa mãn

Đây là mở rộng của nguyenta98 :icon6:
Tổng quát của bài toán này:
$$\overline{a_1a_2...a_n}=a_1^n+a_2^n+...+a_n^n$$
Giải như sau:
$$\overline{a_1a_2...a_n}\geq 10^{n-1} \rightarrow a_1^n+...+a_n^n\geq 10^{n-1}<1>$$
Mặt khác
$$a_1^n+...+a_n^n\le 9^n.n <2>$$
Từ $<1><2>$ suy ra $9^n.n\geq 10^{n-1}<*>$
Nhận thấy $<*>$ gọi tạm là hàm số học đồng biến nhưng sau đó nghịch biến, có nghĩa là $n$ đến một thời điểm nào đó $9^n.n<10^{n-1}$ kể từ đó $n$ tăng thì $<*>$ không còn đúng, đó cũng là lí do tại sao bài toán này chỉ đến một giới hạn đúng, kể từ lúc nào đó sẽ không còn đúng.
Nhận thấy $9^{61}.61<10^{60}$ (theo http://www.wolframal...(9^61)*61-10^60 )
Do đó bài toán tổng quát không còn đúng với $n=61$
Ta sẽ cm không còn đúng với $n\geq 61$
$n=61$ đúng
Giả sử $n=k$ đúng hay $9^k.k<10^{k-1}$
Ta sẽ cm $n=k+1$ đúng hay $9^{k+1}.(k+1)<10^k$
Thật vậy do GTQN suy ra
$$10^{k-1}>9^k.k \rightarrow 10^k>9^k.k.10=9^{k+1}.(k.\dfrac{10}{9})>9^{k+1}.(k+1)$$
Do $k\geq 9$ thì $k.\dfrac{10}{9}\geq k+1$
Do đó bài toán không đúng với $n\geq 61$
Còn $n<61$ thì nghiệm phụ thuộc vào các chuyên gia lập trình thôi ta chỉ có khả năng làm TH đơn giản như $n=1,2,3,4,5$

P/S:Như vậy về căn bản bài toán tổng quát được giải, điều đó chứng tỏ phương trình trên chỉ có hữu hạn nghiệm đây cũng là một kiến thức quan trọng trong lý thuyết số, ngoài ra $n=60$ vẫn có thể đúng http://www.wolframal...(9^60)*60-10^59 (vì có nghiệm hay không tùy thuộc vào trường số N)




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh