Chủ đề này có 5 trả lời

[quanrrom97]

Chứng minh các BDT sau với a,b,c>0

• $\left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^{2}+\left ( \frac{b+c}{b-c} \right )^{2}+\left ( \frac{c+a}{c-a} \right )^{2}\geq 2$
• $\frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c}+\frac{ac}{b^{2}a+b^{2}c}+\frac{ab}{c^{2}a+c^{2}b}\geq \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$
• $\frac{a^{5}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{5}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{5}}{a^{2}+ac+c^{2}}\leq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}$
• $\frac{25a}{b+c}+\frac{16b}{a+c}+\frac{c}{a+b}> 8$

Mod. Chú ý tiêu đề nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 27-01-2013 - 10:33

[BlackSelena]

Bài đầu tiên:
Đặt $x = \dfrac{a+b}{a-b} ; y = \dfrac{b+c}{b-c}; z = \dfrac{a+c}{a-c}$
Để ý ta có $(x-1)(y-1)(z-1) = (x+1)(y+1)(z+1) = \dfrac{8abc}{\prod (a+b)}$
$\Rightarrow xy+yz+xz = -1$
Lại có $(x+y+z)^2 \geq 0$ nên $x^2 + y^2 + z^2 \geq -2(xy+yz+xz) = 2$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 27-01-2013 - 10:41

[vutuanhien]

Chứng minh các BDT sau với a,b,c>0

• $\left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^{2}+\left ( \frac{b+c}{b-c} \right )^{2}+\left ( \frac{c+a}{c-a} \right )^{2}\geq 2$
• $\frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c}+\frac{ac}{b^{2}a+b^{2}c}+\frac{ab}{c^{2}a+c^{2}b}\geq \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$
• $\frac{a^{5}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{5}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{5}}{a^{2}+ac+c^{2}}\leq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}$
• $\frac{25a}{b+c}+\frac{16b}{a+c}+\frac{c}{a+b}> 8$

Mod. Chú ý tiêu đề nhé

Bài 4 để em chém!Đặt b+c=x, c+a=y, a+b=z thì $a=\frac{y+z-x}{2}$, $b=\frac{x+z-y}{2}$, $c=\frac{x+y-z}{2}$. VT=$\frac{25(y+z-x)}{2x}+\frac{16(x+z-y)}{2y}+\frac{x+y-2z}{2}=(\frac{25y}{2x}+\frac{8x}{y})+(\frac{25z}{2x}+\frac{x}{2z})+(\frac{8z}{y}+\frac{y}{2z})-21\geq 2\sqrt{\frac{25y}{2x}.\frac{8x}{y}}+2\sqrt{\frac{25z}{2x}.\frac{x}{2z}}+2\sqrt{\frac{8z}{y}.\frac{y}{2z}}-21=29-21=8$ (đpcm).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 27-01-2013 - 11:40

[vutuanhien]

Chứng minh các BDT sau với a,b,c>0

• $\left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^{2}+\left ( \frac{b+c}{b-c} \right )^{2}+\left ( \frac{c+a}{c-a} \right )^{2}\geq 2$
• $\frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c}+\frac{ac}{b^{2}a+b^{2}c}+\frac{ab}{c^{2}a+c^{2}b}\geq \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$
• $\frac{a^{5}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{5}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{5}}{a^{2}+ac+c^{2}}\leq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}$
• $\frac{25a}{b+c}+\frac{16b}{a+c}+\frac{c}{a+b}> 8$

Mod. Chú ý tiêu đề nhé

Bài 3 hình như sai đề bài. Dấu $\leq$ phải chuyển thành $\geq$. Chứng minh như sau:Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có VT=$\sum \frac{a^6}{a^3+a^2b+ab^2}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}$. Ta lại có $3(a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2\geq 0\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\leq 3(a^3+b^3+c^3)\Rightarrow \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{3(a^3+b^3+c^3)}=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 27-01-2013 - 11:50

[NguyThang khtn]

bài 2 em làm thế này ,$\frac{bc}{a^{2}(b+c)}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}= \frac{bc(1-a^{2})}{(b+c)a^{2}}$ rùi áp dụng chebysev

Bài này là dạng khá quen thuộc của BĐT Cauchy- Schwarz kiểu engel !
Bạn chỉ cần chút tinh tế là được !
Ta có:
$\frac{bc}{a^{2}(b+c)} = \frac{\frac{1}{a^{2}}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$
Đến đây bạn tự làm tiếp nhé!
P/s : Lâu lắm mới post bài !

[ducthinh26032011]

$\frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c}+\frac{ac}{b^{2}a+b^{2}c}+\frac{ab}{c^{2}a+c^{2}b}\geq \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$

$\sum \frac{bc}{a^{2}(b+c)}+\sum \frac{b+c}{4bc}\geq \sum \frac{1}{a}(Cauchy)$
$\Leftrightarrow Q.E.D$