Tìm min $Q=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$
#2
Đã gửi 27-01-2013 - 20:23
Ta có:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
$Q=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$.
$Q=\sum \frac{\left ( 3-2c \right )^3}{2c}$
Áp dụng AM-GM, ta có:
$\sum \frac{(3-2c)^3}{2c}+\sum \frac{2c}{4}+\sum \frac{1}{2}\geq \sum \frac{3}{2}\left ( 3-2c \right )$
$\Leftrightarrow Q+\frac{\sum c}{2}+\frac{3}{2}\geq \frac{27}{2}-3\sum c=\frac{9}{2}$
$\Rightarrow Q\geq \frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
- N H Tu prince, pham anh quan, Oral1020 và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 27-01-2013 - 23:08
Đổi biến:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
$Q=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$.
Đặt $b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z\Rightarrow x+y+z=3,x+y=2c,y+z=2a,z+x=2b$
$\Leftrightarrow VT=\sum \frac{z^{3}}{x+y}= \sum \frac{z^{3}}{x+y}+\sum \frac{x+y}{4}+\frac{3}{2}-\sum \frac{x+y}{4}-\frac{3}{2}\geq \sum \frac{3}{2}z$
$\Leftrightarrow VT\geq \frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
#4
Đã gửi 27-01-2013 - 23:53
Từ đó suy ra ngay $Q\ge \dfrac{3^3}{3.2.3}=\dfrac{3}{2}\ \square$
#5
Đã gửi 28-01-2013 - 08:12
Bài này cũng có thể giải bằng Cauchy Schwarz. Ta có $Q=\sum \frac{(a+b-c)^4}{2c(a+b-c)}\geq \frac{((a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2)^2}{4(ca+ab+bc)-2(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{(3(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca))^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\geq \frac{3}{2}$Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
$Q=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 28-01-2013 - 08:12
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh