Chủ đề này có 1 trả lời

[tuannd2009]

Giải BPT sau: $\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}\leq 4$

[MIM]

Giải BPT sau: $\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}\leq 4$

Lời giải: (Boxmath)

$ĐKXĐ:\left\{ \begin{array}{l}x+\frac{3}{x}\geq 0\\2-x+\frac{3}{2-x}\geq 0\\x\neq 0\\x\neq 2\end{array} \right.\Leftrightarrow 0<x<2$

Với ĐKXĐ trên ta có:

$2VT=2\sqrt{x+\frac{3}{x}}+2\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}=\sqrt{(1+3)(x+\frac{3}{x})}+\sqrt{(1+3)(2-x+\frac{3}{2-x})}$

$\geq \sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-x}+\frac{3}{\sqrt{2-x}}$ (BĐT Bunhiakovsky)

$=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}+2(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{2-x}})$

$\geq 4+4\frac{1}{\sqrt[4]{x(2-x)}}\geq 4+\frac{4}{\sqrt{\frac{x+2-x}{2}}}=4+4=8$(BĐT Cauchy)

Suy ra $VT\geq 4$ mà theo đề thì $\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}\leq 4$ nên $x=1$