Chủ đề này có 2 trả lời

[reddevil1998]

Cho $a,b$ nguyên dương tm $4ab-1$ thuộc ước $(4a^{2}-1)^{2}$ .CM $a=b$

[nguyenta98]

Cho $a,b$ nguyên dương tm $4ab-1$ thuộc ước $(4a^{2}-1)^{2}$ .CM $a=b$

Giải như sau:
$(4a^2-1)^2 \vdots 4ab-1$
$\Leftrightarrow 16a^4-8a^2+1 \vdots 4ab-1$
$\Leftrightarrow 16a^4b^2-a^2-8a^2b^2+2ab+b^2+a^2-2ab \vdots 4ab-1$
$\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab \vdots 4ab-1 \Leftrightarrow (a-b)^2 \vdots 4ab-1$
$\Leftrightarrow (a-b)^2=(4ab-1)k$
Hay $a^2-ab(4k+2)+b^2+k=0$ giả sử có nghiệm $a_0,b_0$ sao cho $a_0\geq b_0$ và $a_0+b_0$ nhỏ nhất
Khi ấy theo định lý viete có một nghiệm khác là $a_1$ và $a_1+a_0=b(4k+2),a_1a_0=b_0^2+k$ nên $a_1$ nguyên dương (do $a_0$ nguyên dương) mà $a_0+b_0$ nhỏ nhất nên $a_1+b_0\geq a_0+b_0$
Như vậy $a_1\geq a_0$ mà $a_1+a_0=b_0(4k+2)$ và $2a_1\geq b_0(4k+2) \Rightarrow a_1\geq b_0(2k+1)$
Mà $b_0(2k+1)a_0\le a_1a_0=b_0^2+k$ nên $a_0\le \dfrac{b_0^2+k}{b_0(2k+1)}$ mà $a_0\geq b_0$ nên $b_0\le \dfrac{b_0^2+k}{b_0(2k+1)}$ nên $b_0^2(2k+1)\le b_0^2+k \Leftrightarrow b_0^2.2k\le k$ nên $k=0$ vì nếu $k>0$ thì $b_0^2.2\le 1$ vô lí do $b_0$ nguyên dương, nên $k=0$ do đó $a=b$ đây là $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 30-01-2013 - 23:01

[barcavodich]

Mở rộng
Cho $k$ là $1$ số nguyên dương.CMR$8kn-1|(4k^2-1)^2$nếu và chỉ nếu $k$ chẵn