Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\prod \sin \frac{(n-1)\pi}{2n}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 phanquockhanh

phanquockhanh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển
  • Sở thích:Toán học và cuộc sống

Đã gửi 31-01-2013 - 18:51

Tính tích :
$\sin \frac{\pi}{2n}\sin \frac{2\pi}{2n}\sin \frac{3\pi}{2n}...\sin \frac{(n-1)\pi}{2n}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 31-01-2013 - 19:24


#2 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 31-01-2013 - 19:45

Tính tích :
$\sin \frac{\pi}{2n}\sin \frac{2\pi}{2n}\sin \frac{3\pi}{2n}...\sin \frac{(n-1)\pi}{2n}$.

- Xét phương trình $x^{2n}-1=0$ có các nghiệm $x_k=\cos\dfrac{2k\pi}{2n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{2n}$ với $k=\overline{0,2n-1}$ (chú ý $x_0=1;x_n=-1$)

- Với $k=\overline{1,n-1}$, ta có:
$$\begin{aligned}x_{2n-k}&=\cos\dfrac{2(2n-k)\pi}{2n}+i\sin\dfrac{2(2n-k)\pi}{2n}\\ &=\cos(2\pi-\dfrac{2k\pi}{2n})+i\sin(2\pi-\dfrac{2k\pi}{2n})\\&= \cos\dfrac{2k\pi}{2n}-i\sin\dfrac{2k\pi}{2n}\\&=\overline{x_k} \end{aligned}$$

Vậy nên ta có thể viết:
$$\begin{aligned}x^{2n}-1&=(x^2-1)\prod _{i=1}^{k-1}(x-x_{k})(x-\overline{x_{k}})\\&=(x^2-1)\prod _{i=1}^{k-1}[x^2-(x_{k}+\overline{x_{k}})+1]\\&=(x^2-1)\prod _{i=1}^{k-1}(x^2-2\cos\dfrac{2k\pi}{2n}+1)\\&=(x^2-1)\prod _{i=1}^{k-1}(x^2-2(1-2\sin^2\dfrac{k\pi}{2n})+1)\end{aligned}$$

Ở trên nếu cho $x\rightarrow 1$ thì:
$$n=\prod _{i=1}^{k-1}4\sin^2\dfrac{k\pi}{2n}\\ \Rightarrow \prod _{i=1}^{k-1}\sin\dfrac{k\pi}{2n}=\dfrac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}\ \square$$
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh