Trường THPT chuyên Thăng Long Đà Lạt
Năm học 2012-2013
Thời gian 150 phút
Câu 1:(4đ)
1/Giải phương trình $\sqrt{3}(x^2-3x+1)+\sqrt{x^4+x^2+1}=0$
2/Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
3x^3-y^3=\frac{1}{x+y}\\
x^2+y^2=1
\end{matrix}\right.$
Câu 2:(4đ)
1/ Cho $a,b,c$ là các số nguyên khác không và $a\ne c$ sao cho $\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}$
Chứng minh $a^2+b^2+c^2$ không phải là số nguyên tố.
2/Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho
$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy, \forall x,y\in \mathbb{R}$
Câu 3:(4đ)
Cho $x>0,y>0,z>0$ thỏa điều kiện $x+y+z=1$.Chứng minh:
$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\le \frac{9}{4}$
Câu 4:(3đ)
Cho tam giác $ABC$, điểm O nằm trong tam giác. Các đường thẳng $AO,BO,CO$ lần lượt cắt các cạnh $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Đường thẳng qua O, song song với BC lần lượt cắt $MN,MP$ tại E,F. Chứng minh rằng $OE=OF$
Câu 5:(5đ)
Cho đường tròn (O), hai điểmA,B cố định không thuộc (O). Đường thẳng d quay quanh A, cắt (O) tại $M,N;BM,BN$ cắt lại (O) tại $M',N'$
a) Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định khác B
b)Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $BM'N'$ luôn đi qua một điểm cố định khác B
c)Chứng minh rằng đường thẳng $M'N'$ luôn đi qua một điểm cố định
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 31-01-2013 - 19:22