Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển $\text{Olympic}$ vòng $1$ - THPT Chuyên Đà Lạt


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLIMPIC LẦN THỨ NHẤT

Trường THPT chuyên Thăng Long Đà Lạt

Năm học 2012-2013

Thời gian 150 phút



Câu 1:(4đ)
1/Giải phương trình $\sqrt{3}(x^2-3x+1)+\sqrt{x^4+x^2+1}=0$
2/Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
3x^3-y^3=\frac{1}{x+y}\\
x^2+y^2=1
\end{matrix}\right.$
Câu 2:(4đ)
1/ Cho $a,b,c$ là các số nguyên khác không và $a\ne c$ sao cho $\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}$
Chứng minh $a^2+b^2+c^2$ không phải là số nguyên tố.
2/Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho
$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy, \forall x,y\in \mathbb{R}$
Câu 3:(4đ)
Cho $x>0,y>0,z>0$ thỏa điều kiện $x+y+z=1$.Chứng minh:
$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\le \frac{9}{4}$
Câu 4:(3đ)
Cho tam giác $ABC$, điểm O nằm trong tam giác. Các đường thẳng $AO,BO,CO$ lần lượt cắt các cạnh $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Đường thẳng qua O, song song với BC lần lượt cắt $MN,MP$ tại E,F. Chứng minh rằng $OE=OF$
Câu 5:(5đ)
Cho đường tròn (O), hai điểmA,B cố định không thuộc (O). Đường thẳng d quay quanh A, cắt (O) tại $M,N;BM,BN$ cắt lại (O) tại $M',N'$
a) Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định khác B
b)Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $BM'N'$ luôn đi qua một điểm cố định khác B
c)Chứng minh rằng đường thẳng $M'N'$ luôn đi qua một điểm cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 31-01-2013 - 19:22

Link

 


#2
maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết
Câu 3:
BĐT đã cho tương đương với:
$$\frac{yz}{x(x+y+z)+yz}+\frac{zx}{y(x+y+z)+zx}+\frac{xy}{z(x+y+z)+xy}\geq \frac{3}{4}$$
Theo BĐT Cauchy-Schwarz:
$$\sum \frac{yz}{x^{2}+xy+xz+yz}\geq \frac{(\sum yz)^{2}}{\sum y^{2}z^{2}+3xyz\sum x}\geq \frac{(\sum yz)^{2}}{\frac{4}{3}(\sum yz)^{2}}= \frac{3}{4}$$.
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 31-01-2013 - 20:20


#3
maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết
Câu 1:
1/ Đặt $x^{2}-x+1=a,x^{2}+x+1=b\Rightarrow a,b> 0$.
Phương trình đã cho tương đương với: $\sqrt{3}(2a-b)+\sqrt{ab}=0$
Đây là 1 pt đẳng cấp và dễ dàng giải tiếp.
2/ Thế pt thứ 2 vào pt đầu ta được:
$3x^{3}-y^{3}=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x+y}\Leftrightarrow (x-y)(2x^{3}+5x^{2}y+3xy^{2}+2y^{3})=0$
Dễ dàng giải tiếp...

#4
huy thắng

huy thắng

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

Câu 2:(4đ)

1/ Cho $a,b,c$ là các số nguyên khác không và $a\ne c$ sao cho $\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}$ $(1)$
Chứng minh $a^2+b^2+c^2$ không phải là số nguyên tố.

 

Câu 2:

Ta có:
$$ \frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2} <=> (ac-b^2)(c-a)=0 => ac=b^2$$

 

$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2=(c+a)^2-2ac+b^2=(c+a)^2-b^2=(c+a-b)(c+a+b)$$
$đpcm$

Hình đã gửi


#5
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết

Bài Hệ có thể đưa về lượng giác. Quy về giải phương trình đẳng cấp sau

 

$2\sin^4{x}+3\sin^3{x}\cos{x}-2\sin^2x\cos^2x - \sin{x} \cos^3x-2\cos^4x=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 23-04-2013 - 12:46

ĐCG !

#6
trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLIMPIC LẦN THỨ NHẤT

Trường THPT chuyên Thăng Long Đà Lạt

Năm học 2012-2013

Thời gian 150 phút

Câu 4:(3đ)
Cho tam giác $ABC$, điểm O nằm trong tam giác. Các đường thẳng $AO,BO,CO$ lần lượt cắt các cạnh $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Đường thẳng qua O, song song với BC lần lượt cắt $MN,MP$ tại E,F. Chứng minh rằng $OE=OF$

 

Từ $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $ME, MF$ thứ tự tại $X,Y$

 

Áp dụng định lí Ceva ta có:  $\frac{MB}{MC}.\frac{NC}{NA}.\frac{PA}{PB}=1$    $(1)$

 

Mặt khác: do $AX//MC$ nên $\frac{NC}{NA}=\frac{MC}{AX}$         $(2)$

 

Tương tự có: $\frac{PA}{PB}=\frac{AY}{MB}$             $(3)$

 

Từ $(1),(2),(3)$ ta có: $AX=AY$

 

Áp dụng định lí Thales ta có: $\frac{OE}{AX}=\frac{MO}{MA}=\frac{OF}{AY}$

 

Do đó: $OE=OF$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh