Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển $\text{Olympic}$ vòng $1$ - THPT Chuyên Đà Lạt


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 31-01-2013 - 19:06

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLIMPIC LẦN THỨ NHẤT

Trường THPT chuyên Thăng Long Đà Lạt

Năm học 2012-2013

Thời gian 150 phút



Câu 1:(4đ)
1/Giải phương trình $\sqrt{3}(x^2-3x+1)+\sqrt{x^4+x^2+1}=0$
2/Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
3x^3-y^3=\frac{1}{x+y}\\
x^2+y^2=1
\end{matrix}\right.$
Câu 2:(4đ)
1/ Cho $a,b,c$ là các số nguyên khác không và $a\ne c$ sao cho $\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}$
Chứng minh $a^2+b^2+c^2$ không phải là số nguyên tố.
2/Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho
$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy, \forall x,y\in \mathbb{R}$
Câu 3:(4đ)
Cho $x>0,y>0,z>0$ thỏa điều kiện $x+y+z=1$.Chứng minh:
$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\le \frac{9}{4}$
Câu 4:(3đ)
Cho tam giác $ABC$, điểm O nằm trong tam giác. Các đường thẳng $AO,BO,CO$ lần lượt cắt các cạnh $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Đường thẳng qua O, song song với BC lần lượt cắt $MN,MP$ tại E,F. Chứng minh rằng $OE=OF$
Câu 5:(5đ)
Cho đường tròn (O), hai điểmA,B cố định không thuộc (O). Đường thẳng d quay quanh A, cắt (O) tại $M,N;BM,BN$ cắt lại (O) tại $M',N'$
a) Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định khác B
b)Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $BM'N'$ luôn đi qua một điểm cố định khác B
c)Chứng minh rằng đường thẳng $M'N'$ luôn đi qua một điểm cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 31-01-2013 - 19:22

Link

 


#2 maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy Nhơn

Đã gửi 31-01-2013 - 20:19

Câu 3:
BĐT đã cho tương đương với:
$$\frac{yz}{x(x+y+z)+yz}+\frac{zx}{y(x+y+z)+zx}+\frac{xy}{z(x+y+z)+xy}\geq \frac{3}{4}$$
Theo BĐT Cauchy-Schwarz:
$$\sum \frac{yz}{x^{2}+xy+xz+yz}\geq \frac{(\sum yz)^{2}}{\sum y^{2}z^{2}+3xyz\sum x}\geq \frac{(\sum yz)^{2}}{\frac{4}{3}(\sum yz)^{2}}= \frac{3}{4}$$.
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 31-01-2013 - 20:20


#3 maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy Nhơn

Đã gửi 31-01-2013 - 21:45

Câu 1:
1/ Đặt $x^{2}-x+1=a,x^{2}+x+1=b\Rightarrow a,b> 0$.
Phương trình đã cho tương đương với: $\sqrt{3}(2a-b)+\sqrt{ab}=0$
Đây là 1 pt đẳng cấp và dễ dàng giải tiếp.
2/ Thế pt thứ 2 vào pt đầu ta được:
$3x^{3}-y^{3}=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x+y}\Leftrightarrow (x-y)(2x^{3}+5x^{2}y+3xy^{2}+2y^{3})=0$
Dễ dàng giải tiếp...

#4 huy thắng

huy thắng

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$Thực Hành Sư Phạm$

Đã gửi 23-04-2013 - 02:11

Câu 2:(4đ)

1/ Cho $a,b,c$ là các số nguyên khác không và $a\ne c$ sao cho $\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}$ $(1)$
Chứng minh $a^2+b^2+c^2$ không phải là số nguyên tố.

 

Câu 2:

Ta có:
$$ \frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2} <=> (ac-b^2)(c-a)=0 => ac=b^2$$

 

$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2=(c+a)^2-2ac+b^2=(c+a)^2-b^2=(c+a-b)(c+a+b)$$
$đpcm$

Hình đã gửi


#5 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 23-04-2013 - 12:45

Bài Hệ có thể đưa về lượng giác. Quy về giải phương trình đẳng cấp sau

 

$2\sin^4{x}+3\sin^3{x}\cos{x}-2\sin^2x\cos^2x - \sin{x} \cos^3x-2\cos^4x=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 23-04-2013 - 12:46

ĐCG !

#6 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 10-05-2013 - 11:15

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLIMPIC LẦN THỨ NHẤT

Trường THPT chuyên Thăng Long Đà Lạt

Năm học 2012-2013

Thời gian 150 phút

Câu 4:(3đ)
Cho tam giác $ABC$, điểm O nằm trong tam giác. Các đường thẳng $AO,BO,CO$ lần lượt cắt các cạnh $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Đường thẳng qua O, song song với BC lần lượt cắt $MN,MP$ tại E,F. Chứng minh rằng $OE=OF$

 

Từ $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $ME, MF$ thứ tự tại $X,Y$

 

Áp dụng định lí Ceva ta có:  $\frac{MB}{MC}.\frac{NC}{NA}.\frac{PA}{PB}=1$    $(1)$

 

Mặt khác: do $AX//MC$ nên $\frac{NC}{NA}=\frac{MC}{AX}$         $(2)$

 

Tương tự có: $\frac{PA}{PB}=\frac{AY}{MB}$             $(3)$

 

Từ $(1),(2),(3)$ ta có: $AX=AY$

 

Áp dụng định lí Thales ta có: $\frac{OE}{AX}=\frac{MO}{MA}=\frac{OF}{AY}$

 

Do đó: $OE=OF$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh