Chủ đề này có 54 trả lời

[Math Is Love]

Chắc hẳn tầm này thì các bạn HS lớp 10 đang tích cực ôn thi cho kì thi HSG sắp tới và các trường Chuyên cũng đang rục rịch thi chọn đội tuyển! Vì vậy nên mình xin lập Topic này để các bạn cùng vào thảo luận,rèn kĩ năng để chuẩn bị tốt nhất cho kì thi sắp tới! Đồng thời cũng hi vọng Diễn đàn mình sôi nổi hơn!
$$*$$
Yêu cầu thì cũng chả có gì,chỉ cần không Spam,trình bày gọn gàng,dễ nhìn,đánh số thứ tự bài và cũng không nên dùng quá nhiều những kiến thức lớp trên. Em cũng hi vọng các anh chị khóa trên có thể vào giúp chúng em! Rất hi vọng mọi người ủng hộ,tham gia nhiệt tình!
$$***$$
Xin mở đầu bằng những bài toán của trường mình!

$\boxed{\text{Bài 1}}$(HSG 10-Chuyên ĐHSPHN 2006-2007):
Cho các số thực dương $x;y;z$ thỏa mãn $x+y+z\leq \frac{3}{2}$
Chứng minh rằng:
$$\frac{x^6+2x^2y+1}{x^4}+\frac{y^6+2y^2z+1}{y^4}+\frac{z^6+2z^2x+1}{z^4}\geq \frac{243}{4}$$

$\boxed{\text{Bài 2}}$(HSG 10-Chuyên ĐHSPHN 2007-2008):
Cho $2007$ số thực phân biệt $a_1;a_2;...;a_{2007}$
Xét tập hợp:
$$X=\left \{ \sum_{i\in K} a_i:K\subset \left \{ a_1;a_2;...;a_{2007} \right \} \right \}$$
Chứng minh rằng $|X|\geq 2015028$
Với $|X|$ là số phần tử của $X$.

$\boxed{\text{Bài 3}}$(HSG 10-Chuyên ĐHSPHN 2011-2012):

Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng $p^n-1$ trong đó $p$ là một số nguyên tố và $n$ là một số nguyên dương. Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $k$ vừa là số chẵn, vừa là tốt và đồng thời thỏa mãn tính chất:mọi ước nguyên dương của $k$ cũng là tốt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 31-01-2013 - 21:12

[tramyvodoi]

$\boxed{\text{Bài 1}}$(HSG 10-Chuyên ĐHSPHN 2006-2007):
Cho các số thực dương $x;y;z$ thỏa mãn $x+y+z\leq \frac{3}{2}$
Chứng minh rằng:
$$\frac{x^6+2x^2y+1}{x^4}+\frac{y^6+2y^2z+1}{y^4}+\frac{z^6+2z^2x+1}{z^4}\geq \frac{243}{4}$$

Bài toán trở thành:$\sum x^{2}+\sum \frac{1}{x^{4}}+2\sum \frac{y}{x^{2}}$
Ta có $\sum \frac{y}{x^{2}}=\frac{y}{x^{2}}+\frac{z}{y^{2}}+\frac{x}{z^{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}$
Mà $\frac{3}{2}\geq x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$
Từ đây ta suy được $xyz\leq \frac{1}{8}$
Từ đây ta tìm được min của $\sum \frac{y}{x^{2}}$
Ta có $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{y^{4}}+\frac{1}{z^{4}}$
$=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{64x^{4}}+\frac{1}{64y^{4}}+\frac{1}{64z^{4}}+\frac{63}{64}(\sum \frac{1}{x^{4}})$
$\geq \frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}+\frac{63}{64}(\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{y^{4}}+\frac{1}{z^{4}})$
$\geq \frac{3}{4\sqrt[3]{xyz}}+\frac{63}{64}\frac{3}{\sqrt[3]{x^{4}y^{4}z^{4}}}$
từ đây áp dụng $xyz\leq \frac{1}{8}$ là ra

[huy thắng]

$\boxed{\text{Bài 3}}$(HSG 10-Chuyên ĐHSPHN 2011-2012):

Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng $p^n-1$ trong đó $p$ là một số nguyên tố và $n$ là một số nguyên dương. Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $k$ vừa là số chẵn, vừa là tốt và đồng thời thỏa mãn tính chất:mọi ước nguyên dương của $k$ cũng là tốt.

Mình chém bài này nhé ^^

Giả sử $A$ là số tốt và có tất cả các ước đều là số tốt.
++Xét trường hợp $A$ có dạng $2^n=>$ $n\leq 4$ vì $2^5$ không là số tốt
Bằng cách thử ta thấy $2,4,8,16$ là số tốt.

++Xét trường hợp $A$ có ước lẻ:
Gọi là ước lẻ bất kì của $A$. Ta có $m=p^n-1$ mà $m$lẻ $=>p$ chẵn $=>p=2$
$=>$ ước lẻ của $A$ đều có dạng $2^k-1$
Giả sử $A$ chia hết cho $b$ lẻ và $b=m.r (m,r\geq 1)$. Do $m.r|A$ và $m,r$ lẻ
$=> m.r=(2^q-1)(2^l-1)=2^k-1 <=> 2^(q+l-1)-2^(q-1)-2^(l-1)+1=2^(k-1) => k=1$(vô lí).
Vậy $A $có đúng 1 ước lẻ là $m$ và phải là số nguyên tố. Đặt $m=2^q-1$
Ta có $2^q|A=> 2.(2^q-1)=p^r-1 <=> 2^(q+1)-1=p^r$ ($p$ nguyên tố).
Do $m$ nguyên tố nên nếu $q$ chẵn thì 3|q. Khi đó các số sau thỏa đề bài: $6,12,24,48.$
Nếu $3|q$ thì $7|m$ (theo định lý $Fermat$ nhỏ) nên $m=7$ (loại vì số $14$ không phải số tốt).
Nếu $3|q+1|$ thì $m=7$ . Mà $6|7^r-1 => m=3$ (quay lại trường hợp trên).
Ta có $q$ không chia hết cho 6 (vì khi đó $21|m$).
Xét trường hợp $q$ lẻ $3|q-1 => q=6k+1$
Ta có $2^(q+1)-1=p^r =>4^(3k+1)-1=p^r <=> 3.(4^(3k)+4^(3k-1)+...+1) $
Dễ chứng minh biểu thức trong ngoặc không chia hết cho $3$. Vậy $r=1 =>q=0$ (vô lí).
Như vậy nếu $A$ có ước lẻ thì chỉ có $A=6$ thỏa.
Vậy các số tốt thỏa đề bài là $2,4,6,8,12,16,24,48$

[ducthinh26032011]

Bài 4:Cho $\Delta ABC$ nhọn có các đường cao $AA^{'},BB^{'},CC^{'}$.Chứng minh rằng các đường thẳng Euler của các $\Delta AB^{'}C^{'},CA^{'}B^{'},BA^{'}C^{'}$ đồng quy tại 1 điểm.

[huy thắng]

Bài 4:Cho $\Delta ABC$ nhọn có các đường cao $AA^{'},BB^{'},CC^{'}$.Chứng minh rằng các đường thẳng Euler của các $\Delta AB^{'}C^{'},CA^{'}B^{'},BA^{'}C^{'}$ đồng quy tại 1 điểm.

hí hí bài này mình ghi hướng làm thôi nhé
kéo dài 2 đường thẳng $euler$ của $\Delta AB^{'}C^{'},CA^{'}B^{'}$ cắt nhau tại $K$.
bằng 1 số phép biến đổi góc,ta có 2 đường thẳng này cắt nhau tại 1 điểm $S$ tại đường tròn $euler$ của $\Delta ABC$,
Cmtt thì 3 đường thẳng $euler$ của $\Delta AB^{'}C^{'},CA^{'}B^{'},BA^{'}C^{'}$ đồng quy tại $K$

Bài 5: Cho $f:\mathbb{R} ->\mathbb{R}$ thỏa với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$ ta có
$|f(x)|\leq 1$
và $f(x+\frac{13}{42})+f(x)=f(x+\frac{1}{6}) + f(x+\frac{1}{7})$
$Cmr:$ $f$ là hàm tuần hoàn.

[Mai Duc Khai]

Spam chút : Sao không tiếp tục duy trì topic này nhỉ ???
_________________
Có thấy ai vào post bài đâu!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 07-03-2013 - 11:23

[deathavailable]

Cho em hỏi là topic còn hoạt động không ạ, em thấy nó rất hay mà!!!

[AnnieSally]

Cho em hỏi là topic còn hoạt động không ạ, em thấy nó rất hay mà!!!

Không ai gửi bài cả

 

$\boxed{6}$ Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng $\frac{1}{R}+\frac{1}{r}\geq \frac{9\sqrt{3}}{2p}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 22-09-2013 - 09:13

[Juliel]

Vậy để mình post bài lên vậy 

$\boxed{7}$ Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} 0<a\leq b\leq c\leq d\\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{d}{c}\geq 3\\ \dfrac{2}{b}+\dfrac{d}{c}\geq 2\\ \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $a^{k}+b^{k}+c^{k}-d^{k}\leq 2^{k}+1$ với $k\in \mathbb{Z}^{+}$

(Tổng quát đề nghị thi Olympic 30-4 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định)

 

$\boxed{8}$ Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$$P(P(x))+1=\left [ P^{2}(x)+2P(x)+(x^{2}+3x+1) \right ]^{2}$$

(Đề nghị Olympic 30-4 THPT Chuyên Nguyễn Du, Đắc Lắc)

 

$\boxed{9}$ Chứng minh rằng hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+5y^{2}=z^{2} & & \\ y^{2}+5x^{2}=t^{2} & & \end{matrix}\right.$ không có nghiệm nguyên dương.

(Đề nghị Olympic 30-4 THPT Chuyên Long An, Long An)

Không nhớ rõ năm  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 22-09-2013 - 08:56

[deathavailable]

Mình cũng xin đóng ghóp 1 bài:

 

$\boxed{10}$

 

 

Giải phương trình: $$ \sum x^2+\sum2[x]+\sum \begin{Bmatrix} x \end{Bmatrix}^2=14.6$$

(3 ẩn x,y,z nhé)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deathavailable: 22-09-2013 - 11:10

[deathavailable]

Mình cũng xin đóng ghóp 1 bài:

 

$\boxed{10}$

 

Giải phương trình: $$ \sum x^2+\sum2[x]+\sum \begin{Bmatrix} x \end{Bmatrix}^2=14.6$$

[LNH]

$\boxed{9}$ Chứng minh rằng hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+5y^{2}=z^{2} & & \\ y^{2}+5x^{2}=t^{2} & & \end{matrix}\right.$ không có nghiệm nguyên dương.

(Đề nghị Olympic 30-4 THPT Chuyên Long An, Long An)

HPT suy ra $6\left ( x^2+y^2 \right )=z^2+t^2$

Vậy $z^2+t^2 \vdots 3$

Đặt $z=3z_1,t=3t_1$

Suy ra $x^2+y^2 \vdots 3$

Đặt $x=3x_1,y=3y_1$

Làm tương tự như vậy suy ra $x,y,z,t \vdots 3^k$

Vậy PT không có nghiệm nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 22-09-2013 - 09:23

[nhatquangsin]

Không ai gửi bài cả

 

$\boxed{6}$ Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng $\frac{1}{R}+\frac{1}{r}\geq \frac{9\sqrt{3}}{2p}$

đặt $x=p-a,y=p-b,z=p-c$

bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$\frac{4\sqrt{(x+y+z)^3.xyz}}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\sqrt{\frac{(x+y+z)^3}{xyz}}\geq \frac{9\sqrt{3}}{2}$.

Ta có

$VT\geq \frac{27}{2}.\sqrt{\frac{xyz}{(x+y+z)^3}}+\sqrt{\frac{(x+y+z)^3}{xyz}}\geq 3\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 22-09-2013 - 09:33

[AnnieSally]

$\boxed{11}$ Trong tứ giác lồi, tổng các bình phương các cạnh và đường chéo bằng $m.$ Chứng minh rằng diện tích của tứ giác không vượt quá $\frac{m}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 22-09-2013 - 09:40

[Zaraki]

Mình cũng xin đóng ghóp 1 bài:

 

$\boxed{10}$

 

Giải phương trình: $$ \sum x^2+\sum2[x]+\sum $\begin{Bmatrix} x \end{Bmatrix}$^2=14.6$$

Cho em hỏi bài này có bao nhiêu ẩn vậy ?

[nhatquangsin]

Vậy để mình post bài lên vậy 

$\boxed{7}$ Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} 0<a\leq b\leq c\leq d\\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{d}{c}\geq 3\\ \dfrac{2}{b}+\dfrac{d}{c}\geq 2\\ \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $a^{k}+b^{k}+c^{k}-d^{k}\leq 2^{k}+1$ với $k\in \mathbb{Z}^{+}$

(Tổng quát đề nghị thi Olympic 30-4 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định)

Ta thiết lập các bđt sau(sử dụng Cauchy-Schwarz)

$\left ( \frac{d}{c} \right )^{k}\geq 1,\left ( \frac{d}{c} \right )^{k}+\left ( \frac{2}{b} \right )^{k}\geq 2,\left ( \frac{d}{c} \right )^{k}+\left ( \frac{2}{b} \right )^{k}+\left ( \frac{1}{a} \right )^{k}\geq 3$.

sử dụng khai triển Abel ta có

$d^{k}+2^{k}+1=\left ( c^{k}-b^{k} \right ).\left ( \frac{d}{c} \right )^{k}+\left ( b^{k}-a^{k} \right )\left ( \left ( \frac{d}{c} \right )^{k}+\left ( \frac{2}{b} \right )^{k} \right )+a^{k}\left ( \left ( \frac{d}{c} \right )^{k}+\left ( \frac{2}{b} \right )^{k}+\left ( \frac{1}{a} \right )^{k} \right )$

$\geq c^{k}-b^{k}+2(b^{k}-a^{k})+3a^{k}=a^{k}+b^{k}+c^{k}$

dấu = tại $a=1,b=2,c=d$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 22-09-2013 - 10:09

[LNH]

$\boxed{8}$ Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$$P(P(x))+1=\left [ P^{2}(x)+2P(x)+(x^{2}+3x+1) \right ]^{2}$$

(Đề nghị Olympic 30-4 THPT Chuyên Nguyễn Du, Đắc Lắc)

Đặt $a=degP\left ( x \right )$

Xét 2TH:

TH1: $a\leq 1$

Suy ra $a^2=4$, vô lí

TH2: $a\geq 2$

Ta có: $a^2=4x$

Suy ra $a=0$(loại) hoặc $a=4$

Xét $a=4$:

Cân bằng hệ số ta được đa thức $P\left ( x \right )=x\left ( x+2 \right )\left ( x^2+2x+2 \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 22-09-2013 - 10:02

[Juliel]

$\boxed{12}$ Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix} x+y+z=0 & & \\ \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}=\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}& & \end{matrix}\right.$$

[Juliel]

Đặt $a=degP\left ( x \right )$

Xét 2TH:

TH1: $a\leq 1$

Suy ra $a^2=4$, vô lí

TH2: $a\geq 2$

Ta có: $a^2=4x$

Suy ra $a=0$(loại) hoặc $a=4$

Xét $a=4$:

Cân bằng hệ số ta được đa thức $P\left ( x \right )=x\left ( x+2 \right )\left ( x^2+2x+2 \right )$

Thử lại không thỏa mãn.   Đáp án là $P(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)$, có lẽ bác sai trong quá trình cân bằng hệ số chăng ? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 22-09-2013 - 10:57

[LNH]

Thử lại không thỏa mãn. 

Vậy thì suy ra không tồn tại $P \left(x \right)$ thoả mãn yêu cầu đề bài