Chủ đề này có 1 trả lời

[banhbaocua1]

Cho 2 dãy ${}x_{n}{}+y_{n}$ được xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}=y_{1}=\sqrt{3} & & \\ x_{n+1}=x_{n}+\sqrt{1+x_{n}^{2}} & & \\ y_{n+1}= \frac{y_{n}}{1+\sqrt{1+y_{n}^{2}}} & & \end{matrix}\right.$
Chứng minh $\forall n\geq 1$ thì$2\leq x_{n}.y_{n}<3$

[phanquockhanh]

Cho 2 dãy ${}x_{n}{}+y_{n}$ được xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}=y_{1}=\sqrt{3} & & \\ x_{n+1}=x_{n}+\sqrt{1+x_{n}^{2}} & & \\ y_{n+1}= \frac{y_{n}}{1+\sqrt{1+y_{n}^{2}}} & & \end{matrix}\right.$
Chứng minh $\forall n\geq 1$ thì$2\leq x_{n}.y_{n}<3$

Ta có:$x_{1}=\sqrt{3}= cot\frac{\pi }{6}\Rightarrow x_{2}=cot\frac{\pi }{6}+\sqrt{1+cot^{2}\frac{\pi }{6}}=cot\frac{\pi }{2.6}$
Bằng QN ta chứng minh được:$x_{n}=cot\frac{\pi }{2^{n-1}.6}$
Tương tự,ta cũng có:
$y_{n}=tan\frac{\pi }{2^{n-3}.3}$
Đặt $\alpha _{n}=\frac{\pi }{2^{n}.3}\Rightarrow x_{n}y_{n}=tan2\alpha _{n}cot\alpha _{n}$
Đặt $t=tan\alpha _{n}\Rightarrow x_{n}y_{n}=\frac{2}{1-t^{2}}$
Lại có:$n\geq 1\Rightarrow 0< t\leq tan\frac{\pi }{6}= \frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow 2<\frac{2}{1-t^{2}}\leq 3$$\Rightarrow {2< x_{n}y_{n}\color{Red}\leq 3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 13-02-2013 - 22:27