Đến nội dung

Hình ảnh

$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
Tìm tất cả các hàm $f$: $R\rightarrow R$ thoả mãn:
$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y)$ với mọi số thực $x,y$

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#2
demonhunter000

demonhunter000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
Đặt đb là (1):
thay $x$ bởi $x+y$ ta có :
$(x+y)f(x+y)-yf(y)=xf(x+2y)$ (2)
(1)-(2) suy ra $f(x)+f(x+2y)=2f(x+y)$
điều này tương đương với f(x)+f(y)=2$f(\frac{x+y}{2}) \forall x\in R$ (3)
đặt $f(0)=b$ suy ra $f(x)+b=2(\frac{x}{2})$
thay vào (3) suy ra $f(x)+f(y)=f(x+y)+b$
từ đây và (1) ta có $x(f(y)-b)=y(f(x)-b)$
điều này tương đương $\frac{x}{f(x)-b}=\frac{y}{f(y)-b}$
Suy ra $f(x)=ax+b$ với a,b=const

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 08-02-2013 - 21:38


#3
duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết

Đặt đb là (1):

đặt $f(0)=b$ suy ra $f(x)+b=2(\frac{x}{2})$

mình mới học phương trình hàm , ai đó giải thích giúp mình chỗ này đc ko ????
NGU
Hình đã gửi

#4
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết

Đặt đb là (1):
thay $x$ bởi $x+y$ ta có :
$(x+y)f(x+y)-yf(y)=xf(x+2y)$ (2)
(1)-(2) suy ra $f(x)+f(x+2y)=2f(x+y)$
điều này tương đương với f(x)+f(y)=2$f(\frac{x+y}{2}) \forall x\in R$ (3)
đặt $f(0)=b$ suy ra $f(x)+b=2(\frac{x}{2})$
thay vào (3) suy ra $f(x)+f(y)=f(x+y)+b$
từ đây và (1) ta có $x(f(y)-b)=y(f(x)-b)$
điều này tương đương $\frac{x}{f(x)-b}=\frac{y}{f(y)-b}$
Suy ra $f(x)=ax+b$ với a,b=const

Tại sao lại tương đương với $f(x)+f(y)=2f(\frac{x+y}{2})$

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#5
luuxuan9x

luuxuan9x

    Sát thủ có khuôn mặt trẻ thơ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Tìm tất cả các hàm $f$: $R\rightarrow R$ thoả mãn:
$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y)$ với mọi số thực $x,y$


Mình có cách giải khác hay hơn ( may be :D).

Đặt $g(x)=f(x)-f(0)$ =>$g(0)=0$.

Khi đó PTH tương đương :

$xg(x)-yg(y)=(x-y)g(x+y)$

Thay $y$ bởi $-x$ ta có: $xg(x)+xg(-x)=0$ =>$g(-x)=-g(x)$ => $g$ là hàm lẻ.

Thay $y$ bởi $-y$ ta có $xg(x)-yg(y)=(x+y)g(x-y)$

=>$(x+y)g(x-y)=(x-y)g(x+y)$

Với $x\neq \pm y$ ta có: $\frac{g(x+y)}{x+y}=\frac{g(x-y)}{x-y}$

=>$g(x)=ax$ $\forall x\in \mathbb{R}$

=>$f(x)=ax+b$ $\forall x\in \mathbb{R}$ (với $b=f(0)$)

Vậy $f(x)=ax+b$ $\forall x\in \mathbb{R}$

#6
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Tìm tất cả các hàm $f$: $R\rightarrow R$ thoả mãn:
$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y)$ với mọi số thực $x,y$

Có cách còn hay hơn nữa nè :D
Cho $t=x+y,1=x-y,x+z=1,y+z=0$
Ta có $$f(t)=f(x+y)=(x-y)f(x+y)=xf(x)-yf(y)$$
$$=(xf(x)-zf(z))+(zf(z)-yf(y))=(x-z)f(x+z)+(z-y)f(z+y)$$
$$=f(1)t+f(0)(1-t)=(f(1)-f(0))t+f(0)$$
Vậy các hàm thỏa mãn là $f(x)=ax+b$ :D
$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#7
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Có cách còn hay hơn nữa nè :D
Cho $t=x+y,1=x-y,x+z=1,y+z=0$
Ta có $$f(t)=f(x+y)=(x-y)f(x+y)=xf(x)-yf(y)$$
$$=(xf(x)-zf(z))+(zf(z)-yf(y))=(x-z)f(x+z)+(z-y)f(z+y)$$
$$=f(1)t+f(0)(1-t)=(f(1)-f(0))t+f(0)$$
Vậy các hàm thỏa mãn là $f(x)=ax+b$ :D


Bạn có thể nêu hướng giải cụ thể cho các bài dạng này không? Hay là chỉ nêu tại sao biết đặt như thế này $t=x+y,1=x-y,x+z=1,y+z=0$.

Mình xin đóng góp thêm 1 cách giải.Có thể hơi giống cách trên.

Ta thêm biến $z$ như sau:$xf(x)-zf(z)=(x-z)f(x+z)$ (1)

$xf(x)-zf(z)=[xf(x)-yf(y)]+[yf(y)-zf(z)]=(x-y)f(x+y)+(y-z)f(y+z)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$(x-z)f(x+z)=(x-y)f(x+y)+(y-z)f(y+z)$(3)

Với $u\in \mathbb{R}$ ta xét hệ $\left\{\begin{matrix} x+z=u\\ x+y=1\\ y+z=0 \end{matrix}\right.$

<=>$(x;y;z)=(\frac{u+1}{2};\frac{1-u}{2};\frac{u-1}{2})$

Khi đó (3) thành $f(u)=f(1)u+f(0)(1-u) ,\forall u\in \mathbb{R}$

Hay $f(x)=ax+b$

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#8
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Bạn có thể nêu hướng giải cụ thể cho các bài dạng này không? Hay là chỉ nêu tại sao biết đặt như thế này $t=x+y,1=x-y,x+z=1,y+z=0$.

Mình xin đóng góp thêm 1 cách giải.Có thể hơi giống cách trên.

Ta thêm biến $z$ như sau:$xf(x)-zf(z)=(x-z)f(x+z)$ (1)

$xf(x)-zf(z)=[xf(x)-yf(y)]+[yf(y)-zf(z)]=(x-y)f(x+y)+(y-z)f(y+z)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$(x-z)f(x+z)=(x-y)f(x+y)+(y-z)f(y+z)$(3)

Với $u\in \mathbb{R}$ ta xét hệ $\left\{\begin{matrix} x+z=u\\ x+y=1\\ y+z=0 \end{matrix}\right.$

<=>$(x;y;z)=(\frac{u+1}{2};\frac{1-u}{2};\frac{u-1}{2})$

Khi đó (3) thành $f(u)=f(1)u+f(0)(1-u) ,\forall u\in \mathbb{R}$

Hay $f(x)=ax+b$

-Cách của bạn căn bản giống cách của mình :icon6: đều dùng phương pháp thêm biến $z$ vào :D
Mình thì toàn thử xem cách nào hợp thì giải theo cách đó thôi >:)
-Còn cái vụ đặt $t$ và thêm điều kiện của $x,y,z$ thực ra là đặt $x,y,z$ theo $t$ giống bạn :D
Đặt thế cho dễ nhìn và có thể giải theo cái mà đề bài cho trước :luoi:
$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh