Đến nội dung

Hình ảnh

Vòng 2 BMO 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
Mời bạn thảo luận tại đây

Bài 1 : Tìm $(m;n)$ biết $m;n \in Z$
$(m^2+1) \vdots n$ và $(n^2+1) \vdots m$

Bài 2: Điểm $P$ nằm bên trong tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\widehat{ABP}=\widehat{PCA}$. Dựng hình bình hành $PBQC$. Chứng minh $\widehat{QAB}=\widehat{CAP}$

Bài 3: Xét tập hợp các số nguyên dương viết trong hệ nhị phân, có đúng $2013$ chữ số và chữ số $0$ nhiều hơn chữ số $1$. Gọi $n$ là số các số nguyên như vậy và $s$ là tổng các chữ số của $n$. Chứng minh rằng, khi viết trong hệ nhị phân, $n + s$ có số chữ số $0$ hơn số chữ số $1$.

Bài 4: Giả sử $ABCD$ là một hình vuông và $P$ đó là một điểm nằm trên đường tròn nội tiếp hình vuông. Có tồn tại hay không điểm $P$ sao cho độ dài các đoạn thẳng $PA, PB, PC, PD$ và $AB$ đều là các số nguyên?

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 12-02-2013 - 11:59

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#2
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Bài 2: Điểm P nằm bên trong tam giác ABC thỏa mãn: $\widehat{ABP}=\widehat{PCA}$. Dựng hình bình hành PBQC .
Chứng minh $\widehat{QAB}=\widehat{CAP}$

untitled.JPG
Dựng hình bình hành $ADCQ$. Dễ thấy rằng $ABPD$ cũng là hình bình hành. Do đó:
$$\widehat{ADP}=\widehat{ABP}=\widehat{ACP}; \widehat{DCA}=\widehat{CAQ}$$
Suy ra tứ giác $ADCP$ nội tiếp, nên ta có:
$$\widehat{DCA}=\widehat{APD}$$
Như vậy, $\widehat{BAP}=\widehat{APD}=\widehat{CAQ}$. Từ đây, ta có đpcm




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh