Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Cho $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1$.CM:$\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}}{2-a_{i}} \ge \frac{n}{2n-1}$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 haianhngobg

haianhngobg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Ngô Sĩ Liên

Đã gửi 02-02-2013 - 18:50

Cho các số thực dương thoã mãn $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1$. Chứng minh rằng: $$\frac{a_{1}}{2-a_{1}}+...+\frac{a_{n}}{2-a_{n}}\geq \frac{n}{2n-1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 03-02-2013 - 11:05

  • NLT yêu thích

#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-02-2013 - 09:27

Cho các số thực dương thoã mãn $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1$. Chứng minh rằng: $$\frac{a_{1}}{2-a_{1}}+...+\frac{a_{n}}{2-a_{n}}\geq \frac{n}{2n-1}$$

Xét hàm số $f(x)=\frac{x}{2-x}$ có $f''(x)=\frac{2}{(2-x)^3}$ nên hàm số lõm tr0ng khoảng $[0;1]$. Áp dụng bất đẳng thức Jensen với $x=a_i$ ta có:
$$f(a_1)+f(a_2)+....+f(a_n)\geq f_{\left(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\right)}$$
$$\Rightarrow \frac{a_{1}}{2-a_{1}}+...+\frac{a_{n}}{2-a_{n}}\geq \frac{n}{2n-1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 03-02-2013 - 09:36

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#3 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 03-02-2013 - 11:02

Xét hàm số $f(x)=\frac{x}{2-x}$ có $f''(x)=\frac{2}{(2-x)^3}$ nên hàm số lõm tr0ng khoảng $[0;1]$. Áp dụng bất đẳng thức Jensen với $x=a_i$ ta có:
$$f(a_1)+f(a_2)+....+f(a_n)\geq f_{\left(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\right)}$$
$$\Rightarrow \frac{a_{1}}{2-a_{1}}+...+\frac{a_{n}}{2-a_{n}}\geq \frac{n}{2n-1}$$

Có cần sử dụng công cụ mạnh như Jensen để giải hay không khi mà có thể sử dụng Cauchy-Schwarz đơn giản và sơ cấp hơn ;)

Để ý rằng $1+\frac{a_1}{2-a_1}=\frac{2}{2-a_1}$ nên :
\[\frac{1}{{2 - {a_1}}} + \frac{1}{{2 - {a_2}}} + ... + \frac{1}{{2 - {a_n}}} \ge \frac{{{n^2}}}{{2n - 1}}\]

Theo Cauchy-Schwarz thì :
\[\frac{1}{{2 - {a_1}}} + \frac{1}{{2 - {a_2}}} + ... + \frac{1}{{2 - {a_n}}} \ge \frac{{{n^2}}}{{\left( {2 - {a_1}} \right) + \left( {2 - {a_2}} \right) + ... + \left( {2 - {a_n}} \right)}} = \frac{{{n^2}}}{{2n - 1}}\]
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh