Chủ đề này có 6 trả lời

[hoangtubatu955]

Cho a,b,c không âm thoả mãn ab+bc+ca=1. Tìm GTNN của biểu thức:
A=2$a^2$+$b^2$+$c^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 02-02-2013 - 20:05

[hoangtubatu955]

Chắc sai:
Do hệ số lớn nhất trong A là 2 (của $a^2$) nên để $A_{Min}$ thì a=0
$\Rightarrow A=b^2+c^2\geq 2bc=2$
Vậy Min(A)=2 khi a=0; b=c=1

có vẽ như ko đúng thì phải

[dorabesu]

Chắc sai:
Do hệ số lớn nhất trong A là 2 (của $a^2$) nên để $A_{Min}$ thì a=0
$\Rightarrow A=b^2+c^2\geq 2bc=2$
Vậy Min(A)=2 khi a=0; b=c=1

Ông anh à, nếu $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$ thì thỏa mãn điều kiện bài toán, hơn nữa $A=2.\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}<2$?

[hoangtubatu955]

mình làm được rồi, mọi người thử xem cái nhé
Ta có:
A= 2$x^2$+$y^2$+$z^2$
= $x^2$+$\left ( 1-\frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )y^{2}$+$x^2$+$\left ( 1-\frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )z^{2}$+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}z^2$+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}y^2$
$\geq$($\sqrt{5}-1$)(xy+yz+zx)=$\sqrt{5}$-1
Dấu '=' mọi người tự tìm nhé
Cô-si từng đôi một thôi

[dorabesu]

mình làm được rồi, mọi người thử xem cái nhé
Ta có:
A= 2$x^2$+$y^2$+$z^2$
= $x^2$+$\left ( 1-\frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )y^{2}$+$x^2$+$\left ( 1-\frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )z^{2}$+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}z^2$+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}y^2$
$\geq$($\sqrt{5}-1$)(xy+yz+zx)=$\sqrt{5}$-1
Dấu '=' mọi người tự tìm nhé
Cô-si từng đôi một thôi

Cái này phải đoán dấu "=" trước đúng không?

[viet 1846]

Cái này phải đoán dấu "=" trước đúng không?

Phương pháp này gọi là cân bằng hệ số trong bất đẳng thức. việc tìm ra các hệ số trên cần giải một hệ các phương trình. Bạn thử làm xem thế nào.

[mrjackass]

Phương pháp này gọi là cân bằng hệ số trong bất đẳng thức. việc tìm ra các hệ số trên cần giải một hệ các phương trình. Bạn thử làm xem thế nào.

Cách làm của mình như sau:
Thấy được vai trò của $b;c$ là tương đương, ta dự đoán dấu "=" xảy ra khi $\alpha a=b=c$, trong đó $\alpha$ là 1 hằng số dương mà ta sẽ đi tìm. Bây giờ ta cứ "hồn nhiên" AM-GM như sau:
$\alpha^2 a^2+b^2\geq 2\alpha ab$
$\alpha^2 a^2+c^2\geq 2\alpha ac$
$\alpha(b^2+c^2)\geq 2\alpha bc$
Cộng 3 vế các đánh giá trên: $\alpha^22a^2+(\alpha+1)(b^2+c^2)\geq2\alpha(ab+bc+ca)=2\alpha$
Ta thấy vế trái hệ số của $a^2$ và $b^2+c^2$ còn "lệch", chưa thể đưa về $2a^2+b^2+c^2$. Do đó ta sẽ "chỉnh" $ \alpha $ sao cho $ \alpha^2=\alpha+1 $
Giải phương trình trên, lấy nghiệm dương, ta được $\alpha=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$. Lúc này thì thay vào các đánh giá trên và tìm dấu "=" thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mrjackass: 07-02-2013 - 11:48