Chủ đề này có 2 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho $f(x) \in \mathbb{Q} [x], \alpha \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $$\alpha^3-\alpha =f^3(\alpha) -f(\alpha) =33^{1999}$$
Kí hiệu ${f_{(n)}}(x) = \underbrace {f\left( {f...\left( {f\left( {f(x)} \right)} \right)} \right)}_\text{n lần hàm hợp}$. Chứng minh rằng: $$(f_{(n)}(\alpha))^3 -f_{(n)}(\alpha) =33^{1999}$$

[perfectstrong]

Lời giải:
\[
\alpha ^3 - \alpha = f\left( \alpha \right)^3 - f\left( \alpha \right) = 33^{1999} ,\left( 1 \right)
\]
Từ (1) suy ra \[
\alpha ^3 - \alpha > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\alpha > 1 \\
- 1 < \alpha < 0 \\
\end{array} \right.
\]
Nếu $-1<\alpha<0 \Rightarrow |\alpha|<1 \Rightarrow \alpha ^3-\alpha <2<33^{1999}$: trái gt.
Như vậy $\alpha>1$. Tương tự, $f(\alpha)>1$.
\[
\begin{array}{l}
\alpha ^3 - \alpha = f\left( \alpha \right)^3 - f\left( \alpha \right) \\
\Leftrightarrow \left( {f\left( \alpha \right) - \alpha } \right)\left[ {f\left( \alpha \right)^2 + \alpha f\left( \alpha \right) + \alpha ^2 - 1} \right] = 0 \\
\Leftrightarrow f\left( \alpha \right) = \alpha \\
\Rightarrow f_n \left( \alpha \right)^3 - f_n \left( \alpha \right) = \alpha ^3 - \alpha = 33^{1999} \\
\end{array}
\]

[rongthan]

Từ điều kiện $f(x) \in \mathbb{Q} [x], \alpha \in \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$\alpha^3-\alpha =f^3(\alpha) -f(\alpha) =33^{1999} (*)$$
ta thay$\alpha :=f(\alpha)$ vào đẳng thức (*) thì thu được:
$$f_{(2)}^{3}(\alpha)-f_(2)(\alpha)=f^3(\alpha) -f(\alpha)=33^{1999} (**)$$
sau $n-1$ lần thay như vậy ta có:
$$(f_{(n)}(\alpha))^3 -f_{(n)}(\alpha) =33^{1999}$$(dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rongthan: 14-02-2013 - 23:54