Chủ đề này có 1 trả lời

[lovemoon]

Chứng minh :
$\frac{x^{3}}{y^{3}+8}+\frac{y^{3}}{z^{3}+8}+\frac{z^{3}}{x^{3}+8}\geq \frac{1}{9}+\frac{2(xy+yz+zx)}{27}$
với $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 03-02-2013 - 09:00

[trauvang97]

Chứng minh :
$\frac{x^{3}}{y^{3}+8}+\frac{y^{3}}{z^{3}+8}+\frac{z^{3}}{x^{3}+8}\geq \frac{1}{9}+\frac{2(xy+yz+zx)}{27}$
với $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$.

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

 

$\frac{x^{3}}{(y+2)(y^{2}-2y+4)}+\frac{y+2}{27}+\frac{y^{2}-2y+4}{27}\geq \frac{x}{3}$

 

Tương tự ta có: $\frac{y^{3}}{(z+2)(z^{2}-2z+4)}+\frac{z+2}{27}+\frac{z^{2}-2z+4}{27}\geq \frac{y}{3}$

 

                         $\frac{z^{3}}{(x+2)(x^{2}-2x+4)}+\frac{x+2}{27}+\frac{x^{2}-2x+4}{27}\geq \frac{z}{3}$

 

Đặt vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là $A$

 

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có:

 

$A+\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2}-(x+y+z)+18)}{27}\geq 1$

 

hay $A+\frac{(x+y+z)^2}{27}\geq \frac{4}{9}+\frac{2(xy+yz+zx)}{27}$

 

hay $A\geq \frac{1}{9}+\frac{2(xy+yz+zx)}{27}$